Geometric mean-based pairwise comparison method with the reference values -- statistical approach

Resumen Técnico: Método de Comparación por Pares Basado en la Media Geométrica con Valores de Referencia – Un Enfoque Estadístico

Planteamiento del Problema
Los métodos de comparación por pares (PC, por sus siglas en inglés), como el Proceso de Jerarquía Analítica (AHP) y el Método del Mejor-Peor (BWM), se utilizan ampliamente para la toma de decisiones que involucran juicios de expertos. Mientras que los métodos tradicionales como el Método del Autovector (EVM) y el Método de la Media Geométrica (GMM) calculan pesos de alternativas, a menudo tienen dificultades con datos incompletos y carecen de un marco estadístico robusto para cuantificar la incertidumbre de los rankings resultantes. Las interpretaciones estadísticas existentes de los métodos de PC se han centrado principalmente en matrices completas sin valores de referencia. Además, los índices de inconsistencia clásicos (por ejemplo, el Índice de Consistencia) miden la dispersión de los juicios, pero no consideran la "distancia de preferencia" entre las alternativas. En consecuencia, un conjunto de datos altamente inconsistente podría aun así generar un ordenamiento fiable para alternativas claramente distintas, mientras que un conjunto de datos consistente podría no lograr distinguir entre alternativas con pesos muy similares. Existe la necesidad de un método que integre valores de referencia (alternativas con pesos conocidos) con un enfoque estadístico para evaluar la fiabilidad del vector de pesos derivado y la probabilidad de reversiones de rango.

Metodología
Los autores proponen una interpretación estadística del método de Estimación de Calificación Heurística Geométrica (HRE), el cual calcula pesos para alternativas desconocidas basándose en comparaciones con alternativas de referencia conocidas.

1. Formulación de la Regresión: El artículo demuestra que el HRE geométrico incompleto es matemáticamente equivalente a un problema de regresión lineal. Al tomar el logaritmo de las razones de comparación por pares ($y_{ij} = \ln c_{ij}$) y de los pesos ($\theta_i = \ln w_i$), la relación se modela como:
   $$y_{ij} = \theta_i - \theta_j + \epsilon_{ij}$$
   donde $\epsilon_{ij}$ representa un término de error aleatorio asumido como normalmente distribuido. Los pesos logarítmicos desconocidos de las alternativas no referenciales se tratan como parámetros del modelo a estimar mediante el método de Mínimos Cuadrados Ordinarios (OLS).

2. Construcción de la Matriz: El problema se estructura utilizando matrices de diseño ($X_U$ para alternativas no referenciales y $X_K$ para alternativas de referencia) y un vector de respuesta derivado de las comparaciones observadas. La solución implica la inversión de una matriz $L_U$ (una submatriz del Laplaciano del grafo) para estimar los pesos logarítmicos.

3. Inferencia Estadística: Una vez estimados los pesos, el marco aplica herramientas estadísticas estándar:

   • Estimación de la Varianza: Se utiliza la suma de cuadrados de los residuos para estimar la varianza del error ($\hat{\sigma}^2$).
   • Matriz de Covarianza: La matriz de covarianza de los estimadores se deriva como $\hat{\sigma}^2 L_U^{-1}$, lo que permite el cálculo de los errores estándar para los pesos individuales.
   • Intervalos de Confianza: Utilizando la distribución $t$ de Student, se construyen intervalos de confianza para los pesos logarítmicos, los cuales se transforman de nuevo a la escala original mediante la exponenciación.
   • Probabilidad de Reversión de Rango: Los autores derivan fórmulas para calcular la probabilidad de que el orden estimado de dos alternativas ($P(a_i \prec a_j)$) sea correcto. Esto implica calcular la distribución de la diferencia entre dos estimadores, contabilizando su covarianza. Esto se extiende a tríos y conjuntos más grandes de alternativas utilizando distribuciones $t$ multivariantes.

4. Indicadores de Calidad y Agrupación de Empates:

   • lcPOI (Índice de Orden por Pares de Menor Certeza): La probabilidad mínima de preservación del orden entre todos los pares.
   • alPOI (Índice de Orden por Pares de Verosimilitud Promedio): La probabilidad promedio de preservación del orden.
   • Agrupación de Empates (Tie Clustering): Se propone un mecanismo donde las alternativas con baja probabilidad de orden (por debajo de un umbral $\delta$) se agrupan en "clústeres de empate". Sus pesos se promedian, proporcionando una representación más conservadora y estadísticamente honesta del ranking cuando las distinciones son inciertas.

5. Toma de Decisiones en Grupo: El marco se extiende a entornos grupales mediante la agregación de comparaciones de múltiples expertos en un único conjunto de observaciones. Los autores sugieren un enfoque de regresión ponderada donde los expertos con menor varianza de error (mayor confianza) reciben mayores pesos en la agregación.

Resultados Clave y Contribuciones

• Fundamento Estadístico para el HRE Geométrico: El artículo establece que el HRE geométrico incompleto es un problema de mínimos cuadrados, proporcionando una base estadística rigurosa para un método previamente definido de forma heurística.
• Medidas de Ranking Probabilísticas: La introducción de $P(a_i \prec a_j)$ permite a los decisores evaluar la fiabilidad del orden del ranking, no solo las estimaciones puntuales de los pesos. El artículo muestra que esta probabilidad depende tanto de la inconsistencia de los datos como de la magnitud de la diferencia entre los pesos de las alternativas.
• Nuevos Indicadores de Calidad: Las definiciones de lcPOI y alPOI ofrecen una visión más matizada de la calidad de los datos que los índices de inconsistencia tradicionales, resaltando específicamente casos donde pesos similares conducen a rankings inciertos incluso con baja inconsistencia.
• Mecanismo de Umbral de Empate: El algoritmo propuesto para agrupar alternativas inciertas en empates evita la sobreinterpretación de diferencias estadísticamente insignificantes, lo que conduce a resultados de decisión más robustos.
• Extensión a la Toma de Decisiones en Grupo: La metodología se adapta con éxito a escenarios de múltiples expertos, permitiendo la agregación de matrices incompletas y el potencial de ponderar a los expertos basándose en su consistencia individual (varianza).

Significancia
El artículo sostiene que su contribución principal es doble: primero, proporciona una interpretación intuitiva de la inconsistencia como un error estadístico dentro del marco de regresión de mínimos cuadrados; segundo, introduce medidas probabilísticas para evaluar la fiabilidad de los rankings. Al desplazar el enfoque de los índices de inconsistencia deterministas hacia la preservación del orden probabilístico, el enfoque permite una evaluación más realista de la calidad de la decisión. Reconoce que, incluso con datos "ruidosos", las distinciones claras entre alternativas pueden ser fiables, mientras que los datos "limpios" pueden fallar al distinguir entre opciones similares. El mecanismo de agrupación de empates propuesto ofrece una solución práctica para representar estas incertidumbres, alejándose de la falsa precisión hacia un resultado de decisión más interpretable y cauteloso. El marco se presenta como una extensión coherente de los desarrollos existentes de HRE, dirigida específicamente a la evaluación de la incertidumbre y la calidad de los vectores de pesos derivados de datos de comparación por pares incompletos.