Greenberg's $\mu=0$ conjecture for lisse sheaves over global function fields

Resumo Técnico: A Conjectura de Greenberg $\mu = 0$ para Sheaves Lisses sobre Campos de Funções Globais

Enunciado do Problema
O artigo aborda a estrutura dos grupos de Selmer associados a sheaves $\mathbb{Z}_\ell$-lisses sobre campos de funções globais $K$ de característica $p > 0$, especificamente investigando a teoria de Iwasawa desses grupos sobre a única extensão constante $\mathbb{Z}_\ell$-de $K_\infty/K$. O problema central é determinar se o dual de Pontryagin do grupo de Selmer é um módulo finitamente gerado e torsionável sobre a álgebra de Iwasawa $\Lambda = \mathbb{Z}_\ell[[\Gamma]]$ e, crucialmente, se sua invariante $\mu$ é nula. Isso constitui um análogo de característica positiva da conjectura de Greenberg $\mu = 0$, que prevê o desaparecimento da invariante $\mu$ para curvas elípticas e outras representações de Galois sobre extensões ciclotômicas $\mathbb{Z}_\ell$ de corpos numéricos.

Metodologia
O autor emprega uma combinação de cohomologia étale, teoria de classes para campos de funções e teoria de deformação.

1. Configuração Geométrica: O trabalho é enquadrado na geometria de uma curva suave, projetiva e geometricamente íntegra $X$ sobre um corpo finito $k = \mathbb{F}_q$. O campo de funções global é $K = k(X)$. A extensão $K_\infty$ é definida como a extensão constante $K \cdot k_\infty$, onde $k_\infty$ é a única extensão $\mathbb{Z}_\ell$ de $k$.
2. Teoria de Sheaves: O estudo foca em sheaves $\mathbb{Z}_\ell$-lisses $T$ em um subesquema afim aberto $U \subseteq X$. A sheaf discreta associada $W = T \otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell$ e a sheaf residual $M = T/\ell T$ são usadas para definir grupos de Selmer via grupos de cohomologia global $H^1_{\text{et}}(U, \cdot)$ e condições locais nos lugares em $S = X \setminus U$.
3. Condição Cartesiana: Uma suposição técnica fundamental é que a estrutura de Selmer é "cartesiana" em relação à multiplicação por $\ell$. Isso garante a compatibilidade entre os grupos de Selmer de $W$ e $M$, permitindo que a finitude do grupo de Selmer residual implique propriedades estruturais do grupo de Selmer completo.
4. Desaparecimento Cohomológico: A prova depende fortemente do desaparecimento de grupos de cohomologia superior para sheaves construtíveis sobre curvas afins em característica positiva. Especificamente, o autor utiliza o fato de que o grupo de Galois da extensão constante $G_{k_\infty}$ é um grupo pro-$\ell'$-primário, levando ao desaparecimento de $H^a(G_{k_\infty}, N)$ para módulos $N$ de característica $\ell$-primária finita e $a > 0$.
5. Teoria de Deformação: O artigo aplica esses resultados cohomológicos à teoria de deformação de representações de Galois residuais $\bar{r}$. Ao analisar a representação adjunta $\text{Ad}\bar{r}$ como uma sheaf construtível, o autor relaciona o desaparecimento de $H^2$ com a não obstrução dos funtores de deformação.

Principais Contribuições e Resultados

• Teorema 1.1 (Desaparecimento de $\mu$): O resultado principal estabelece que, para uma sheaf $\mathbb{Z}_\ell$-lisse $T$ em $U$, o dual de Pontryagin do grupo de Selmer $\text{Sel}_\mathcal{F}(W/K_\infty)^\vee$ é um módulo finitamente gerado e torsionável sobre a álgebra de Iwasawa $\Lambda$ com a invariante $\mu$ igual a zero. Isso ocorre sem impor as hipóteses de irredutibilidade frequentemente exigidas no cenário de corpos numéricos.
• Teorema 1.2 (Conjectura de Leopoldt Fraca): O artigo prova um análogo da conjecta de Leopoldt fraca para sheaves lisses, mostrando que $H^2(G_S(K_\infty), W) = 0$. Esse desaparecimento é derivado da finitude dos grupos de cohomologia sobre a mudança de base geométrica $U_{\bar{k}}$ e do desaparecimento da cohomologia sobre a extensão constante.
• Teorema 1.3 (Anéis de Deformação): O autor prova que o funtor de deformação emoldurado (framed) da representação residual $\bar{r}_\infty$ (restrita a $G_S(K_\infty)$) é formalmente suave sobre o anel de vetores de Witt $O = W(\mathbb{F})$. Consequentemente, o anel de deformação emoldrado é isomorfo a um anel de séries de potências formais $O[[x_1, \dots, x_m]]$. Se a representação residual não possui endomorfismos não escalares ($\text{End}(V_{\bar{r}}) = \mathbb{F}$), o anel de deformação não emoldrado também é um anel de séries de potências formais.
• Finitude de Grupos de Selmer Residuais: Um passo intermediário crucial envolve provar que o grupo de Selmer residual $\text{Sel}_\mathcal{F}(M/K_\infty)$ é finito. Isso é alcançado mostrando que $H^1_{\text{et}}(U_\infty, M)$ é finito, utilizando a sequência espectral de Hochschild-Serre e o desaparecimento da cohomologia para a extensão constante.

Significância e Alegações
O artigo alega fornecer um análogo definitivo de característica positiva e de tipo primo-a-$p$ para a conjectura de $\mu = 0$ de Greenberg. Diferente do caso de corpos numéricos, onde a irredutibilidade da representação residual é frequentemente essencial para evitar invariantes $\mu$ positivas (como visto nos exemplos de Mazur), este resultado é válido genericamente para sheaves lisses sobre a extensão $\mathbb{Z}_\ell$-constante de um campo de funções global.

O autor observa que este trabalho estende resultados fundamentais anteriores de Bandini, Longhi e outros relativos a grupos de Selmer para curvas elípticas e variedades abelianas sobre campos de funções. A principal contribuição é a generalização para sheaves $\mathbb{Z}_\ell$-lisses arbitrárias e a prova explícita da propriedade $\mu = 0$ neste contexto mais amplo.

Além disso, o artigo destaca que esses resultados fornecem informações estruturais fortes sobre anéis de deformação no cenário de campos de funções. Especificamente, prova que o anel de deformação emoldrado é um anel de séries de potências formais sem exigir uma hipótese noetheriana sobre o próprio anel de deformação ou uma hipótese separada de $\mu = 0$ para a representação adjunta; o desaparecimento do grupo de cohomologia relevante $H^2$ é derivado diretamente das propriedades geométricas da curva e da natureza da extensão constante. Isso estabelece que as deformações ordinárias são não obstruídas no limite ciclotômico para esses campos de funções.