Chebotarev geodesic theorem: non-split case

Resumo Técnico: Teorema Geodésico de Chebotarev: Caso Não-Dividido (Non-Split)

Enunciado do Problema
O artigo aborda o Teorema dos Geodésicos Primos (PGT) para subgrupos de congruência de ordens quatérnicas indefinidas sobre $\mathbb{Q}$. Especificamente, investiga o comportamento assintótico da soma ponderada dos comprimentos de geodésicas fechadas no orbifold hiperbólico associado a esses grupos. O problema central é estabelecer o análogo geodésico do teorema de densidade de Chebotarev (CGT) para esses casos "não-divididos" (álgebra de divisão) com um termo de erro agudo.

Embora o PGT e o CGT para o caso dividido ($\Gamma = \text{SL}_2(\mathbb{Z})$) e seus subgrupos de congruência tenham sido extensivamente estudados, com o melhor termo de erro conhecido para o caso dividido sendo $O_\varepsilon(X^{25/36+\varepsilon})$ (Soundararajan e Young), o caso não-dividido (álgebras de divisão quatérnicas indefinidas) havia anteriormente apresentado limites mais fracos (por exemplo, o expoente $7/10 + \varepsilon$ para subgrupos de congruência principal). O objetivo é estender o expoente $25/36 + \varepsilon$ para o cenário não-dividido.

Metodologia
A estratégia de prova baseia-se na redução do problema não-dividido para o caso dividido através do emparelhamento explícito de integrais orbitais. A metodologia procede em três etapas principais:

1. Redução para Funções Estáveis:
   O autor aborda primeiro a questão de que as funções de teste $\phi$ no quociente finito $(O/qO)^1$ podem não ser "estáveis" (invariantes sob conjugação pela unidade). Usando a reciprocidade de Artin para extensões de corpos quadráticos, o artigo prova que a média de uma função sobre a ação de conjugação introduz apenas um termo de erro pequeno ($O(X^{1/2+\varepsilon})$). Isso permite a suposição de que a função de teste é estável sem afetar significativamente a contagem assintótica.

2. Emparelhamento de Integrais Orbitais Locais:
   A contribuição técnica central envolve a construção de um emparelhamento entre integrais orbitais no lado da álgebra de divisão ($D^\times$) e o lado da álgebra dividida ($\text{GL}_2$).

   • O autor define "funções de emparelhamento" $\phi$ em $D^\times$ e $f$ em $\text{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ de tal forma que suas integrais orbitais coincidam para todas as álgebras quadráticas $E$ e elementos $x$.
   • Ao contrário de versões anteriores da correspondência de Jacquet–Langlands (por exemplo, em [GJ79]), este trabalho fornece uma construção explícita que rastreia o suporte e o nível das funções.
   • Especificamente, para uma função $\phi$ de nível $p^n$ na ordem máxima da álgebra de divisão, o autor constrói uma função de emparelhamento $f$ de nível $p^{n+1}$ em $\text{GL}_2(\mathbb{Z}_p)$ (ou $\text{SL}_2(\mathbb{Z}_p)$); esta construção distingue entre casos onde a "profundidade" do elemento é par ou ímpar, utilizando ordens hereditárias específicas ($M$, $J$ e a ordem máxima de $D$) para definir o emparelhamento.

3. Síntese Global:
   Ao combinar os resultados de emparelhamento local com a formulação adélica das somas geodésicas, o autor estabelece uma identidade global. Para uma função de classe estável $\phi$ em um subgrupo de congruência de uma ordem quatérnica de divisão indefinida, existe uma função de classe estável correspondente $f$ em $\text{SL}_2(\mathbb{Z}/q'\mathbb{Z})$ (onde $q' = \text{disc}(D)q$) tal que as somas geodésicas são idênticas até um erro negligenciável:
   $$\Psi_{O^1}(X; \phi) = \Psi_{\text{SL}_2(\mathbb{Z})}(X; f) + O(X^{1/2+\varepsilon})$$

Principais Resultados
O artigo estabelece o seguinte teorema principal e corolários:

• Teorema 1.2: Para qualquer subgrupo de congruência $\Gamma$ de nível $q$ em uma ordem quatérnica de divisão indefinida $O^1$, e para qualquer função de classe $\phi$, a soma geodésica $\Psi_\Gamma(X; \phi)$ é igual à soma dividida correspondente $\Psi_{\text{SL}_2(\mathbb{Z})}(X; f)$ mais um termo de erro de $O(X^{1/2+\varepsilon})$.
• Corolário 1.3 (Teorema Geodésico de Chebotarev): Combinando o Teorema 1.2 com os melhores limites para o caso dividido, o artigo prova que, para qualquer expoente admissível $\theta > 0$ (onde $\theta = 1/6 + \varepsilon$ é atualmente admissível), o termo de erro para a soma torcida é:
  $$\Psi_\Gamma(X; \phi) = \langle \phi, 1 \rangle X + O(X^{2/3 + \theta/6 + \varepsilon})$$
• Corolário 1.4 (Teorema dos Geodésicos Primos): Ao definir $\phi = 1$, o artigo deriva o limite incondicional para o PGT padrão no caso não-dividido:
  $$\Psi_\Gamma(X) = X + O_\Gamma(X^{25/36+\varepsilon})$$
  Isso iguala o resultado mais forte conhecido para $\text{SL}_2(\mathbb{Z})$.

Significância e Alegações
O artigo afirma estender a forma mais forte atual do Teorema dos Geodésicos Primos do caso dividido ($\text{SL}_2(\mathbb{Z})$) para uma classe muito mais ampla de grupos: subgrupos de congruência de ordens quatérnicas indefinidas.

• Melhoria sobre o Trabalho Anterior: O resultado melhora o expoente $7/10 + \varepsilon$ encontrado em [Tan+26] (que se aplicava apenas a subgrupos de congruência principal) para $25/36 + \varepsilon$ para subgrupos de congruência arbitrários.
• Emparelhamento Explícito: O artigo fornece uma versão completamente explícita do emparelhamento de integrais orbitais locais para formas internas de $\text{GL}_2$, rastreando especificamente o nível e o suporte das funções de teste, o que era uma limitação na literatura anterior.
• Independência Metodológica: A prova da redução da estabilidade (Proposição 1.7) é realizada "à mão" usando a reciprocidade de Artin, evitando a dependência da fórmula de traço estável ou de resultados profundos do background da fórmula de traço de Arthur.

O trabalho demonstra efetivamente que o caso não-dividido pode ser reduzido ao caso dividido com alta precisão, transferindo assim os melhores limites da teoria analítica dos números do plano modular para orbifolds quatérnicos.