Exact Likelihood Inference for Snowball-Sampled Erd\H{o}s-Rényi Networks

Resumo Técnico: Inferência de Verossimilhança Exata para Redes Erdős–Rényi Amostradas por Snowball

Problema
Dados de redes coletados via designs de rastreamento de elos, como a amostragem snowball (bola de neve), apresentam um desafio inferencial fundamental: o mecanismo utilizado para selecionar a amostra depende da própria estrutura da rede (especificamente, a densidade de arestas) que se busca estimar. Tratar o subgrafo observado como uma realização completa e representativa da rede populacional — ignorando o design de amostragem — leva a uma inferência sistematicamente enviesada. Embora soluções gerais para amostragem de redes frequentemente exijam somas combinatórias intratáveis sobre possíveis complementações de redes (Handcock e Gile, 2010), este artigo aborda o caso específico de amostragem snowball de $r$-ondas com recrutamento de vizinhança completa extraído de uma população Erdős–Rényi (ER). Os autores visam derivar uma verossimilhança exata que considere o mecanismo de amostragem, permitendo assim a estimativa não enviesada da probabilidade de aresta $\pi$ e intervalos de confiança válidos, mesmo quando a amostra cobre uma fração insignificante da rede total.

Metodologia
O artigo desenvolve uma derivação em forma fechada da probabilidade conjunta de observar tanto os conjuntos de ondas amostrados ($V^{(0)}, \dots, V^{(r)}$) quanto a matriz de adjacência induzida ($Y^{(r)}$) sob o modelo ER.

1. Fatoração da Verossimilhança: A probabilidade conjunta é fatorizada na probabilidade marginal dos conjuntos de ondas e na probabilidade condicional da matriz de adjacência dados esses conjuntos.

   • Conjuntos de Ondas: A probabilidade de observar tamanhos de onda específicos é derivada tratando o processo de recrutamento como uma sequência de designs de amostragem de Bernoulli. Para a primeira onda, a inclusão é um teste de Bernoulli simples com probabilidade $\pi$. Para as ondas subsequentes ($k \ge 2$), um vértice é incluído se possuir pelo menos uma aresta para a onda precedente, levando a uma probabilidade de sucesso de $1 - (1-\pi)^{n_{k-1}}$.
   • Matriz de Adjacência: A distribuição condicional das arestas é restringida pelo design de amostragem. Arestas entre ondas não adjacentes devem ser zero. Arestas entre ondas adjacentes devem satisfazer a condição de que cada vértice na onda $k$ possui pelo menos uma aresta para a onda $k-1$. Arestas dentro da mesma onda permanecem como testes de Bernoulli não restritos.

2. Família Exponencial Curva: Mostra-se que a função de massa de probabilidade conjunta resultante pertence a uma família exponencial curva no parâmetro $\pi$. A verossimilhança depende dos dados apenas através de duas quantidades escalares:

   • $|E^{(r)}|$: O número de arestas observadas na amostra.
   • $T(n)$: Um estatístico suficiente representando o número total de pares de vértices "restritos", definido como a soma de pares dentro das ondas, pares entre ondas adjacentes, pares entre ondas não adjacentes e o produto de nós não amostrados com o tamanho cumulativo das ondas anteriores.

3. Estimativa e Inferência:

   • Estimador de Máxima Verossimilhança (MLE): O MLE exato, $\hat{\pi} = |E^{(r)}| / T(n)$, é derivado. Este estimador corrige o estimador padrão (que divide as arestas pelo total de pares possíveis no subgrafo observado) incorporando a informação sobre os nós não amostrados e o mecanismo de exclusão.
   • Intervalos de Confiança: Devido à complexidade do comportamento assintótico da distribuição de amostragem (que depende fortemente da relação entre $N$ e $\pi$), os autores constroem intervalos de confiança via inversão de teste. Eles utilizam simulação de Monte Carlo com amostragem de importância para aproximar a distribuição de amostragem do MLE sob vários valores candidatos de $\pi$, permitindo a construção de conjuntos de confiança conservadores sem depender da normalidade assintótica.

Principais Resultados

• Derivação de Verossimilhança Exata: O artigo fornece a primeira expressão de forma fechada para a verossimilhança de uma amostra snowball de $r$-ondas de uma rede ER, resolvendo um problema aberto específico proposto por Crane (2018).
• Redução de Viés: Estudos de simulação demonstram que o estimador padrão, que ignora o design de amostragem, exibe um viés ascendente severo, particularmente em redes esparsas ou quando o número de ondas é pequeno (por exemplo, superestimando $\pi$ em uma a duas ordens de magnitude em amostras de 1-onda). Em contraste, o MLE corrigido pelo método snowball permanece aproximadamente não enviesado em todos os cenários testados, mesmo quando a amostra cobre tão pouco quanto 0,1% da rede.
• Inferência Válida: Os intervalos de confiança de Monte Carlo construídos via inversão de teste alcançam níveis de cobertura nominais (por exemplo, 95%) dentro do erro de Monte Carlo através de uma gama de probabilidades de aresta e contagens de ondas. Estes intervalos são substancialmente mais estreitos do que aqueles baseados em intervalos de verossimilhança relativa padrão.
• Suficiência: O par $(|E^{(r)}|, T(n))$ é identificado como um estatístico suficiente mínimo para $\pi$, garantindo que o procedimento proposto utiliza toda a informação contida na amostra em relação à probabilidade de aresta.

Significância e Alegações
Os autores alegam que este trabalho fornece uma solução tratável e exata para o problema do viés de seleção em amostragem de redes para o modelo fundamental de Erdős–Rényi. Ao modelar explicitamente o mecanismo de amostragem, em vez de ignorá-lo ou condicioná-lo (como em algumas abordagens ERGM condicionais), o método recupera informações sobre a parte não amostrada da rede.

O artigo postula que o framework derivado demonstra um princípio geral: para modelos de rede onde a verossimilhança fatora sobre díades (arestas independentes), o mecanismo de amostragem snowball pode ser considerado com uma correção direcionada e de baixo custo, em vez de uma marginalização intratável. Isso oferece uma alternativa principada aos estimadores que tratam redes amostradas como grafos de população completos. Os autores limitam explicitamente sua contribuição atual ao modelo ER, e a seleção endógena do ego ou a observabilidade parcial da onda final são discutidas como extensões para trabalhos futuros, embora esta última seja mostrada como formalmente equivalente a tratar essas arestas como não amostradas.