Exact Likelihood Inference for Snowball-Sampled Erd\H{o}s-Rényi Networks

Resumen Técnico: Inferencia de Verosimilitud Exacta para Redes de Erdős–Rényi Muestreadas mediante Bola de Nieve

Planteamiento del Problema
Los datos de redes recolectados mediante diseños de rastreo de enlaces, como el muestreo de bola de nieve (snowball sampling), presentan un desafío inferencial fundamental: el mecanismo utilizado para seleccionar la muestra depende de la propia estructura de la red (específicamente, de la densidad de enlaces) que se busca estimar. Tratar el subgrafo observado como una realización completa y representativa de la red poblacional —ignorando el diseño de muestreo— conduce a una inferencia sistemáticamente sesgada. Mientras que las soluciones generales para el muestreo de redes suelen requerir sumas combinatorias intratables sobre posibles completaciones de la red (Handcock y Gile, 2010), este artículo aborda el caso específico de un muestreo de bola de nieve de $r$ ondas con reclutamiento de vecindad completa extraído de una población de Erdős–Rényi (ER). Los autores pretenden derivar una verosimilitud exacta que contemple el mecanismo de muestreo, permitiendo así la estimación insesgada de la probabilidad de enlace $\pi$ y la obtención de intervalos de confianza válidos, incluso cuando la muestra cubre una fracción insignificante de la red total.

Metodología
El artículo desarrolla una derivación en forma cerrada de la probabilidad conjunta de observar tanto los conjuntos de ondas muestreados ($V^{(0)}, \dots, V^{(r)}$) como la matriz de adyacencia inducida ($Y^{(r)}$) bajo el modelo ER.

1. Factorización de la Verosimilitud: La probabilidad conjunta se factoriza en la probabilidad marginal de los conjuntos de ondas y la probabilidad condicional de la matriz de adyacencia dados dichos conjuntos.

   • Conjuntos de Ondas: La probabilidad de observar tamaños de onda específicos se deriva tratando el proceso de reclutamiento como una secuencia de diseños de muestreo Bernoulli. Para la primera onda, la inclusión es un simple ensayo Bernoulli con probabilidad $\pi$. Para las ondas subsecuentes ($k \ge 2$), un vértice se incluye si tiene al menos un enlace con la onda precedente, lo que conduce a una probabilidad de éxito de $1 - (1-\pi)^{n_{k-1}}$.
   • Matriz de Adyacencia: La distribución condicional de los enlaces está restringida por el diseño de muestreo. Los enlaces entre ondas no adyacentes deben ser cero. Los enlaces entre ondas adyacentes deben satisfacer la condición de que cada vértice en la onda $k$ tenga al menos un enlace hacia la onda $k-1$. Los enlaces dentro de la misma onda permanecen como ensayos Bernoulli sin restricciones.

2. Familia Exponencial Curva: Se demuestra que la función de masa de probabilidad conjunta resultante pertenece a una familia exponencial curva en el parámetro $\pi$. La verosimilitud depende de los datos solo a través de dos cantidades escalares:

   • $|E^{(r)}|$: El número de enlaces observados en la muestra.
     ak * $T(n)$: Un estadístico suficiente que representa el número total de pares de vértices "restringidos", definido como la suma de pares dentro de las ondas, pares entre ondas adyacentes, pares entre ondas no adyacentes y el producto de los nodos no muestreados con el tamaño acumulado de las ondas anteriores.

3. Estimación e Inferencia:

   • Estimador de Máxima Verosimilitud (MLE): Se deriva el MLE exacto, $\hat{\pi} = |E^{(r)}| / T(n)$, el cual corrige el estimador estándar (que divide los enlaces por el total de pares posibles en el subgrafo observado) incorporando la información sobre los nodos no muestreados y el mecanismo de exclusión.
   • Intervalos de Confianza: Debido a la complejidad del comportamiento asintótico de la distribución de muestreo (que depende fuertmente de la relación entre $N$ y $\pi$), los autores construyen intervalos de confianza mediante la inversión de pruebas. Utilizan simulación de Monte Carlo con muestreo de importancia para aproximar la distribución de muestreo del MLE bajo diversos valores candidatos de $\pi$, lo que permite la construcción de conjuntos de confianza conservadores sin depender de la normalidad asintótica.

Resultos Clave

• Derivación de la Verosimilitud Exacta: El artículo proporciona la primera expresión en forma cerrada de la verosimilitud de una muestra de bola de nieve de $r$ ondas de una red ER, resolviendo un problema abierto específico planteado por Crane (2018).
• Reducción del Sesgo: Los estudios de simulación demuestran que el estimador estándar, que ignora el diseño de muestreo, exhibe un severo sesgo ascendente, particularmente en redes dispersas o cuando el número de ondas es pequeño (por ejemplo, sobreestimando $\pi$ en uno o dos órdenes de magnitud en muestras de 1 onda). En contraste, el MLE corregido por bola de nieve permanece aproximadamente insesgado en todos los escenarios probados, incluso cuando la muestra cubre tan solo el 0.1% de la red.
• Inferencia Válida: Los intervalos de confianza de Monte Carlo construidos mediante la inversión de pruebas alcanzan niveles de cobertura nominales (por ejemplo, 95%) dentro del error de Monte Carlo a través de un rango de probabilidades de enlace y conteos de ondas. Estos intervalos son sustancialmente más estrechos que aquellos basados en corchetes de verosimilitud relativa estándar.
• Suficiencia: Se identifica el par $(|E^{(r)}|, T(n))$ como un estadístico suficiente mínimo para $\pi$, asegurando que el estimador propuesto utiliza toda la información contenida en la muestra respecto a la probabilidad de enlace.

Significancia y Reivindicaciones
Los autores afirman que este trabajo proporciona una solución tratable y exacta al problema del sesgo de selección en el muestreo de redes para el modelo fundacional de Erdős–Rényi. Al modelar explícitamente el mecanismo de muestreo en lugar de ignorarlo o condicionarlo (como en algunos enfoques de ERGM condicional), el método recupera información sobre la parte no muestreada de la red.

El artículo postula que el marco derivado demuestra un principio general: para modelos de red donde la verosimilitud se factoriza sobre díadas (enlaces independientes), el mecanismo de muestreo de bola de nieve puede abordarse con una corrección dirigida de bajo costo en lugar de una marginalización intratable. Esto ofrece una alternativa fundamentada a los estimadores que tratan los subgrafos muestreados como grafos de población completos. Los autores limitan explícitamente su contribución actual al modelo ER, y se discute que la selección de egos endógena o la observabilidad parcial de la última onda son extensiones que requieren trabajos futuros, aunque esta última es formalmente equivalente a tratar esos enlaces como no muestreados.