New Laplace convolution integrals involving exponential, error, and parabolic cylinder functions with applications in heat transfer and linear viscoelasticity

Resumo Técnico: Novas Integrais de Convolução de Laplace Envolvendo Funções Exponenciais, de Erro e de Cilindro Parabólico

Definição do Problema
Embora as compilações clássicas de transformadas de Laplace e de Laplace inversa sejam extensas, permanece a necessidade de novas identidades integrais que não estão presentes nas tabelas padrão. Especificamente, este artigo aborda o cálculo de integrais de convolução de Laplace envolvendo funções exponenciais, funções de erro (e suas variantes) e funções de cilindro parabólico. Essas integrais surgem frequentemente em problemas de física aplicada, particularmente em problemas de transferência de calor (via o princípio de Duhamel) e viscoelasticidade linear (via o princípio de superposição de Boltzmann). Os autores observam que, embora o teorema da convolução tenha sido usado para encontrar transformadas inversas de integrais conhecidas, a abordagem recíproca — derivar novas integrais a partir de transformadas inversas conhecidas — não tem sido sistematicamente explorada para essas classes específicas de funções.

Metodologia
A metodologia principal baseia-se no Teorema da Convolução de Laplace. Os autores utilizam a propriedade de que a transformada inversa de Laplace do produto de duas funções, $F(s)G(s)$, é a convolução de suas respectivas transformadas inversas, $f(t)$ e $g(t)$.

O processo envolve:

1. Seleção de Transformadas Inversas Conhecidas: Identificação de pares de funções cujas transformadas inversas de Laplace são conhecidas (frequentemente envolvendo funções exponenciais, de erro ou de cilindro parabólico) a partir de tabelas padrão.
2. Aplicação do Teorema da Convolução: Cálculo da integral de convolução $\int_0^t f(\tau)g(t-\tau)d\tau$ igualando-a à transformada inversa do produto $F(s)G(s)$.
3. Extensão via Operações de Cálculo:
   • Integração Repetida: Uso da fórmula para integração repetida para generalizar resultados (por exemplo, derivando integrais com potências superiores no denominador).
   • Diferenciação Paramétrica: Aplicação de operadores diferenciais em relação aos parâmetros (por exemplo, $a$ e $b$) para gerar integrais mais complexas envolvendo polinômios de Hermite e termos de ordem superior.
4. Derivações Alternativas: Sempre que possível, os autores fornecem provas alternativas usando expansões em série, integrais beta e propriedades de funções especiais (como a função de Tricomi e funções hipergeométricas generalizadas) para verificar os resultados sem depender exclusivamente da transformada de Laplace.

Principais Contribuições e Resultados
O artigo apresenta uma série de teoremas e corolários estabelecendo novas integrais de convolução. Os principais resultados incluem:

• Funções Exponenciais (Teoremas 5 e 8): Derivação de integrais envolvendo produtos de exponenciais e raízes quadradas, resultando em expressões com a função de erro complementar ($\text{erfc}$) e funções de Macdonald ($K_\nu$). O Teorema 8 generaliza isso para potências superiores usando operadores diferenciais, produzindo resultados em termos de polinômios de Hermite.
• Funções de Cilindro Parabólico (Teoremas 13 e 17): Computação de convoluções envolvendo funções de cilindro parabólico $D_\nu(z)$ e exponenciais. Esses resultados são estendidos para incluir a função de erro e integração repetida, fornecendo soluções em forma fechada para integrais envolvendo $D_\nu$ e $D_{\nu-1}$.
• Funções de Erro (Teoremas 20 e 23): Derivação de integrais envolvendo produtos de funções exponenciais, funções de erro ($\text{erf}$, $\text{erfc}$, $\text{erfi}$) e integrais de Dawson. Estas levam a novas representações integrais para a função de erro e para as funções de erro imaginárias.
• Funções Hipergeométricas Generalizadas (Teoremas 11 e 26): Estabelecimento de integrais de convolução envolvendo a integral exponencial e funções hipergeométricas confluentes, resultando em expressões contendo funções hipergeométricas generalizadas (${}_pF_q$).

Aplicações
O artigo demonstra a utilidade dessas novas integrais aplicando-as a problemas físicos específicos:

• Transferência de Calor:
  • Meios semi-infinitos: Resolução de problemas de condução de calor com fluxos de calor prescritos (por exemplo, $q(t) \propto t^{-1/2}e^{-a^2/t}$ ou $q(t) \propto \text{erfc}(b/\sqrt{t})$) e temperaturas superficiais prescritas.
  • Condições de contorno complexas: Abordagem de problemas envolvendo fluxos convectivos, fluxos de calor de lei de potência e fluxos de calor acoplados com perda de calor lateral (coeficientes de resfriamento).
  • Cenários específicos: Modelagem da difusão de calor de um pulso de laser em um material isolante e suprimento de calor através de uma área de contato em expansão.
• Viscoelasticidade Linear:
  • Aplicação dos resultados ao modelo de Becker de complacência de fluência (creep compliance). O artigo deriva a resposta de deformação de um material viscoelástico sujeito a uma tensão de lei de potência, expressando a solução em termos de funções hipergeométricas generalizadas.

Significância e Alegações
Os autores alegam que as integrais de convolução derivadas não são relatadas nas tabelas mais comuns (citando referências como [25, 28, 7]) e não são computáveis usando motores de integração simbólica padrão como o Mathematica.

O artigo posiciona o teorema da convolução de Laplace como uma ferramenta poderosa e direta para gerar essas integrais complexas, observando que as provas alternativas (usando séries ou integração direta) são "altamente não triviais". Como subproduto dessas derivações, os autores obtêm novas representações integrais para a função de erro, a função de erro complementar e a função de erro imaginária. O trabalho é apresentado como o segundo de uma série, seguindo um artigo anterior sobre funções trigonométricas e hiperbólicas, visando expandir sistematicamente as ferramentas analíticas disponíveis para problemas de transferência de calor e viscoelasticidade.