Exact reconstruction formulas for a Radon transform over cones

技术摘要：锥形 Radon 变换的精确重建公式

问题陈述
本文研究了特定变体 Radon 变换（称为锥形 Radon 变换，记作 $R^{(p)}$）的数学反演问题。该变换对位于上半空间 $\mathbb{R}^{d-1} \times (0, \infty)$ 内的平滑函数 $f$ 在单侧锥面上进行积分。这些锥体的顶点位于超平面 $\mathbb{R}^{d-1} \times \{0\}$ 上，对称轴垂直于该平面（与 $y$ 轴对齐），且半开角为 $\theta \in (0, \pi/2)$。积分包含一个径向权重 $1/s^p$，其中 $s$ 代表沿锥体母线的距离。

研究该变换的主要动机在于能够解释康普顿散射的计算机断层扫描（CT）。在这些成像模式中，探测到的散射光子可以让我们将源位置追踪回锥面的表面，而非直线或平面。虽然在三维情况（$p \in \{0, 2\}$）下已存在傅里叶重建公式，且在二维情况下存在反向投影公式，但对于任意空间维度 $d \geq 2$ 及任意权重参数 $p \in \mathbb{R}$ 的一般情况，此前尚未得到研究。

方法论
作者 Markus Haltmeier 采用了调和分析技术，特别是利用傅里叶变换和 Hankel 变换来推导反演公式。其核心方法论涉及建立一个针对锥形 Radon 变换的“傅里叶切片恒等式”，类似于经典 Radon 变换中著名的傅里叶切片定理。

推导过程分为三个逻辑步骤：

1. 简化为无权重情况： 建立了一个引理，表明具有任意权重 $p$ 的变换 $R^{(p)}$ 可以通过涉及 $\cos(\theta)$ 和 $y^{-p}$ 的简单乘法算子与无权重变换 $R^{(0)}$ 联系起来。这使得作者能够专注于推导 $p=0$ 的情况并随后推广结果。
2. 推导傅里叶切片恒等式： 通过对空间变量 $u \in \mathbb{R}^{d-1}$ 进行傅里叶变换，并利用球面 $S^{d-2}$ 上 Bessel 函数的积分表示，作者推导出了一个将原函数 $f$ 的傅里叶-Hankel 变换与锥形 Radon 变换数据的傅里叶变换联系起来的恒等式。
3. 通过反向投影进行反演： 利用推导出的傅里叶切片恒等式，作者通过应用逆傅里叶变换和逆 Hankel 变换来实现反演。这一过程导致了滤波反向投影类型的显式重建公式。其中的“滤波”步骤被确定为对第一个参数应用 Riesz 势 $I^{(1-d)}$。

主要贡献与结果
本文提供了两种用于从数据 $R^{(p)}$ 中恢复 $f(x, y)$ 的主要显式重建公式：

1. 角度参数化（定理 1.1，公式 1.3）：
   $$f(x, y) = \frac{y^p}{(2\pi)^{d-1}} \int_0^{\pi/2} \frac{1}{\cos(\theta)^{1+p}} \int_{S^{d-2}} \left( I^{(1-d)} R^{(p)} f \right)(x + y \tan(\theta) n, \theta) \, dn \, d\theta$$
   该公式通过遍历经过重建点 $(x, y)$ 的所有锥体进行积分，其中 $\theta$ 为开角，$n$ 为单位球面上的方向。

2. 空间参数化（定理 1.1，公式 1.4）：
   $$f(x, y) = \frac{1}{(2\pi)^{d-1}} \int_{\mathbb{R}^{d-1}} \frac{(|u-x|^2 + y^2)^{\frac{p-1}{2}}}{|u-x|^{d-2}} \left( I^{(1-d)} R^{(p)} f \right)\left(u, \arctan\frac{|u-x|}{y}\right) \, du$$
   该形式在基平面 $\mathbb{R}^{d-1}$ 上进行积分，累加来自顶点位于 $u$ 的锥体的贡献。

特定维度：

• 对于 $d=2$： Riesz 势 $I^{-1}$ 对应于导数与 Hilbert 变换的复合（$\partial_u H_u$）。
• 对于 $d=3$： Riesz 势 $I^{-2}$ 对应于负拉普拉斯算子（$-\Delta_u$）。因此，3D 重建公式涉及对数据应用拉普拉斯算子，随后进行锥形反向投影。

意义与主张
本文声称，这些是针对任意维度 $d \geq 2$ 及任何实数权重 $p$ 的锥形 Radon 变换的、首个显式的滤波反向投影类型重建公式。

• 局部性： 作者指出，根据维数 $d$ 的奇偶性存在区别。对于奇数维，重建是局部的，这意味着 $f$ 在某点 $(x, y)$ 的值仅取决于经过该点附近任意小邻域的锥体积分。对于偶数维，重建是非局部的，需要知道所有锥面上的积分。这种行为与经典 Radon 变换一致。
• 新颖性： 虽然 $d=2$ 的等效公式在其他工作中已有推导，但对于 $d=3$ 及更高维度的公式被视为新的贡献。
• 实用性： 本文断言，3D 重建公式特别简单，由应用拉普拉斯算子后接锥形反向投影组成。作者建议，数值实现应当是直观的，可以遵循经典及球面 Radon 变换的既定方法，尽管数值研究留待未来研究。

这项工作被构架为为使用康普特相机的发射断层成像提供理论基础，为反转此类设备产生的数据提供了必要的数学工具。