Exact reconstruction formulas for a Radon transform over cones

Résumé Technique : Formules de Reconstruction Exacte pour une Transformée de Radon sur des Cônes

Énoncé du Problème
Cet article traite de l'inversion mathématique d'une variante spécifique de la transformée de Radon, appelée la transformée de Radon conique, notée $R^{(p)}$. Cette transformée intègre une fonction lisse $f$ supportée dans le demi-espace supérieur $\mathbb{R}^{d-1} \times (0, \infty)$ sur des surfaces coniques unidirectionnelles. Ces cônes sont caractérisés par des sommets situés sur l'hyperplan $\mathbb{R}^{d-1} \times \{0\}$, un axe de symétrie orthogonal à ce plan (aligné avec l'axe $y$), et un demi-angle d'ouverture $\theta \in (0, \pi/2)$. L'intégration inclut un poids radial $1/s^p$, où $s$ représente la distance le long du générateur du cône.

La motivation principale de l'étude de cette transformée réside dans la tomographie calculée (CT) tenant compte de la diffusion Compton. Dans ces modalités d'imagerie, la détection de photons diffusés permet de retracer la position de la source vers la surface d'un cône plutôt que vers une ligne ou un plan. Bien que des formules de reconstruction de Fourier existent pour des cas spécifiques en trois dimensions ($p \in \{0, 2\}$) et que des formules de rétroprojection existent pour deux dimensions, le cas général pour une dimension spatiale arbitraire $d \geq 2$ et un paramètre de poids $p \in \mathbb{R}$ quelconque n'avait pas été étudié auparavant.

Méthodologie
L'auteur, Markus Haltmeier, emploie des techniques d'analyse harmonique, exploitant spécifiquement la transformée de Fourier et la transformée de Hankel pour dériver les formules d'inversion. Le cœur de la méthodologie consiste à établir une « identité de tranche de Fourier » pour la transformée de Radon conique, analogue au célèbre théorème de la tranche de Fourier pour la transformée de Radon classique.

La dérivation procède en trois étapes logiques :

1. Réduction au Cas Non Pondéré : Un lemme est établi montrant que la transformée $R^{(p)}$ pour un poids $p$ arbitraire peut être reliée à la transformée non pondérée $R^{(0)}$ via des opérateurs multiplicatifs simples impliquant $\cos(\theta)$ et $y^{-p}$. Cela permet aux auteurs de se concentrer sur la dérivation du cas $p=0$ et de généraliser les résultats ultérieurement.
2. Dérivation de l'Identité de Tranche de Fourier : En appliquant la transformée de Fourier par rapport à la variable spatiale $u \in \mathbb{R}^{d-1}$ et en utilisant la représentation intégrale des fonctions de Bessel sur la sphère $S^{d-2}$, l'auteur dérive une identité reliant la transformée de Fourier-Hankel de la fonction originale $f$ à la transformée de Fourier des données de la transformée de Radon conique.
3. Inversion par Rétroprojection : En utilisant l'identité de tranche de Fourier dérivée, l'auteur inverse la transformée en appliquant les transformées de Fourier et de Hankel inverses. Ce processus conduit à des formules de reconstruction explicites de type rétroprojection filtrée. L'étape de « filtrage » est identifiée comme l'application du potentiel de Riesz $I^{(1-d)}$ par rapport au premier argument.

Contributions Clés et Résultats
L'article fournit deux formules de reconstruction explicites pour récupérer $f(x, y)$ à partir des données $R^{(p)}f$ :

1. Paramétrage Angulaire (Théorème 1.1, Éq. 1.3) :
   $$f(x, y) = \frac{y^p}{(2\pi)^{d-1}} \int_0^{\pi/2} \frac{1}{\cos(\theta)^{1+p}} \int_{S^{d-2}} \left( I^{(1-d)} R^{(p)} f \right)(x + y \tan(\theta) n, \theta) \, dn \, d\theta$$
   Cette formule intègre sur tous les cônes passant par le point de reconstruction $(x, y)$, paramétrés par l'angle d'ouverture $\theta$ et la direction $n$ sur la sphère unité.

2. Paramétrage Spatial (Théorème 1.1, Éq. 1.4) :
   $$f(x, y) = \frac{1}{(2\pi)^{d-1}} \int_{\mathbb{R}^{d-1}} \frac{(|u-x|^2 + y^2)^{\frac{p-1}{2}}}{|u-x|^{d-2}} \left( I^{(1-d)} R^{(p)} f \right)\left(u, \arctan\frac{|u-x|}{y}\right) \, du$$
   Cette forme intègre sur le plan de base $\mathbb{R}^{d-1}$, sommant les contributions des cônes dont les sommets sont situés en $u$.

Dimensions Spécifiques :

• Pour $d=2$ : Le potentiel de Riesz $I^{-1}$ correspond à la composition de la dérivée et de la transformée de Hilbert ($\partial_u H_u$).
• Pour $d=3$ : Le potentiel de Riesz $I^{-2}$ correspond au Laplacien négatif ($-\Delta_u$). Par conséquent, la formule de reconstruction 3D implique l'application du Laplacien aux données suivie d'une rétroprojection conique.

Signification et Revendications
L'article affirme qu'il s'agit des premières formules de reconstruction explicites de type rétroprojection filtrée pour la transformée de Radon conique dans des dimensions arbitraires $d \geq 2$ et pour tout poids réel $p$.

• Localité : L'auteur note une distinction basée sur la parité de la dimension $d$. Pour les dimensions impaires, la reconstruction est locale, ce qui signifie que la valeur de $f$ en un point $(x, y)$ dépend uniquement des intégrales sur les cônes passant par un voisinage arbitrairement petit de ce point. Pour les dimensions paires, la reconstruction est non locale, nécessitant la connaissance des intégrales sur toutes les surfaces coniques. Ce comportement reflète celui de la transformée de Radon classique.
• Nouveauté : Bien que des formules équivalentes pour $d=2$ aient été dérivées précédemment dans d'autres travaux, les formules pour $d=3$ et les dimensions supérieures sont présentées comme de nouvelles contributions.
• Praticité : L'article affirme que les formules de reconstruction 3D sont particulièrement simples, consistant en une application du Laplacien suivie d'une rétroprojection conique. L'auteur suggère que la mise en œuvre numérique devrait être directe, en suivant les méthodes établies pour les transformées de Radon classiques et sphériques, bien que les études numériques soient laissées à des recherches futures.

Ce travail est présenté comme un fondement théorique pour la tomographie d'émission utilisant des caméras Compton, fournissant les outils mathématiques nécessaires pour inverser les données générées par de tels dispositifs.