A new space of generalised vector-valued functions of bounded variation

技术摘要：一种新的广义值函数变差空间

问题陈述与动机
本文研究了断裂力学中能量泛函的数学分析，特别是用于模拟内聚性裂纹扩展（cohesive crack growth）的模型。研究聚焦于如下形式的泛函：
$$F(u) = \int_A f(x, \nabla u) \, dx + \int_A f^\infty\left(x, \frac{dD^c u}{d|D^c u|}\right) d|D^c u| + \int_{J_u} g(x, [u], \nu_u) \, d\mathcal{H}^{d-1}$$
其中 $A \subset \mathbb{R}^d$ 是一个开有界集，$u: A \to \mathbb{R}^k$ 是位移场，$J_u$ 是跳跃集（裂纹面），$[u]$ 是裂纹张开度，$D^c u$ 是导数的 Cantor 部分。

具体的挑战在于，当表面能密度 $g$ 在原点附近满足线性增长条件（例如 $g \sim |\zeta| \wedge 1$）时，这在物理上是相关的，但在数学上却非常微妙。在这种情况下，该泛函无法控制裂纹张开度的全振幅，导致标准的空间如 $SBV(A; \mathbb{R}^k)$ 甚至标量空间 $GBV(A)$ 在不添加人工低阶项的情况下，无法为极小化序列提供紧性。

在标量情形（$k=1$）下，Dal Maso 和 Toader [18] 引入了空间 $GBV^\star(A)$ 来解决这一问题，证明了极小化序列可以在不添加额外强制性项的情况下进行修改并实现几乎处处收敛。本文研究的主要问题是将这一框架扩展到向量情形（即 $k > 1$），即定义并分析空间 $GBV^\star(A; \mathbb{R}^k)$，并建立必要的紧性和下半连续性结果，以便应用变分法中的直接法。

方法论与定义
作者 Davide Donati 通过分量逐一扩展的方式定义了空间 $GBV^\star(A; \mathbb{R}^k)$。函数 $u \in L^0(A; \mathbb{R}^k)$ 属于 $GBV^\star(A; \mathbb{R}^k)$ 当且仅当每个分量 $u_i$ 都属于标量空间 $GBV^\star(A)$。

关键方法论步骤包括：

1. 通过复合进行表征： 本文不仅通过分量性质，还通过与光滑紧支撑函数的复合行为来表征 $GBV^\star(A; \mathbb{R}^k)$。具体而言，$u \in GBV^\star(A; \mathbb{R}^k)$ 当且仅当对于每一个具有紧支撑的 Lipschitz 函数 $\phi: \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^k$，复合函数 $\phi \circ u$ 属于 $BV(A; \mathbb{R}^k)$，且这些复合函数的全变差受限于 $\phi$ 的 Lipschitz 常数。
2. 截断分析： 作者利用一族光滑径向截断函数 $\psi_R$（其在半径为 $R$ 的球内为恒等映射，在半径为 $\sigma R$ 之外为零）来将广义导数 $D^c u$ 与截断函数 $\psi_R \circ u$ 的导数联系起来。
3. 适配标量论证： 针对向量情形的证明在很大程度上适配了标量理论 [18] 及相关文献 [17] 中的论证，利用切片技术（slicing techniques）和 $BV$ 函数的链式法则来处理向量值问题的特性。

主要贡献与结果

1. $GBV^\star(A; \mathbb{R}^k)$ 的定义及其结构性质：

   • 该空间被确立为一个向量空间。
   • 本文证明了导数的 Cantor 部分 $D^c u$ 满足秩一性质（类似于 $BV$ 函数的 Alberti 秩一定理）。这是通过证明 $D^c(\psi_R \circ u)$ 的 Radon-Nikodym 导数收敛于 $D^c u$ 的导数，并将 $BV$ 函数已知的秩一性质应用于截断序列而得出的。
   • 阐明了跳跃集 $J_u$ 与截断函数跳跃集之间的关系，表明在忽略集意义下 $J_{\psi_R \circ u} \subset J_u$。

2. 下半连续性：

   • 本文证明了定义在 $GBV^\star(A; \mathbb{R}^k)$ 上的积分泛函 $E_{f,g}$ 的下半连续性结果。
   • 在体密度 $f$ 满足特定增长条件（线性增长）以及表面密度 $g$ 满足特定条件（在零附近呈线性增长，由 $|\zeta| \wedge 1$ 控制）的条件下，该泛函在测度收敛（$L^0$ 拓扑）下是下半连续的。
   • 证明依赖于从 [9] 中适配的切片论证，将向量问题简化为一维问题，从而可以调用 $BV$ 中的弱*下半连续性。

3. 紧性与极小化序列的修改：

   • 定理 4.7： 本文建立，若序列 $(u_n) \subset GBV^\star(A; \mathbb{R}^k)$ 具有一致有界的能量并满足温和的强制性条件（即对于某个超线性函数 $h$，$\int_A h(|u_n|) dx$ 有界），则存在一个子列在 $L^d$ 意义下几乎处处收敛到极限 $u \in GBV^\star(A; \mathbb{R}^k)$。
   • 定理 4.8： 至关重要的是，本文展示了对于满足 Dirichlet 边界条件的极小化序列，可以构造一个修改后的序列 $(y_n)$，使得：
     • $y_n$ 满足相同的边界条件。
     • $F(y_n) \leq F(u_n) + \varepsilon_n$。
     • 修改后的序列满足定理 4.7 所需的强制性条件。
   • 这一结果意味着，极小化序列可以通过“修复”来确保实现几乎处处收敛，而无需向泛函添加低阶项，这对于存在性证明具有显著优势。

意义与主张
本文声称，引入 $GBV^\star(A; \mathbb{R}^k)$ 及其相关的紧性结果，为研究向量情形下内聚性断裂模型的极小化问题提供了必要的分析框架。

作者明确指出，这些结果旨在用于后续工作中 [15]，以解决向量情形下内聚型泛函的均质化问题。本文并不声称直接解决了特定的物理问题，而是提供了研究此类问题所需的严谨泛函分析工具（通过直接法保证存在极小值）。这项工作将 Dal Maso 和 Toader [18] 的标量理论扩展到了向量情形，确保了在处理多维位移场时，对变分方法至关重要的紧性性质得以保持。