A new space of generalised vector-valued functions of bounded variation

Résumé technique : Un nouvel espace de fonctions à valeurs vectorielles généralisées de variation bornée

Énoncé du problème et motivation
Le document traite de l'analyse mathématique des fonctionnelles d'énergie issues de la mécanique de la rupture, plus précisément celles modélisant la croissance de fissures cohésives. L'étude se concentre sur des fonctionnelles de la forme :
$$F(u) = \int_A f(x, \nabla u) \, dx + \int_A f^\infty\left(x, \frac{dD^c u}{d|D^c u|}\right) d|D^c u| + \int_{J_u} g(x, [u], \nu_u) \, d\mathcal{H}^{d-1}$$
où $A \subset \mathbb{R}^d$ est un ensemble ouvert borné, $u: A \to \mathbb{R}^k$ est un champ de déplacement, $J_u$ est l'ensemble des sauts (surface de fissure), $[u]$ est l'ouverture de la fissure, et $D^c u$ est la partie de Cantor de la dérivée.

Le défi spécifique provient du fait que la densité d'énergie de surface $g$ satisfait des conditions de croissance linéaire près de l'origine (par exemple, $g \sim |\zeta| \wedge 1$), ce qui est physiquement pertinent pour les modèles cohésifs mais mathématiquement délicat. Dans ces cas, la fonctionnelle ne contrôle pas l'amplitude complète des ouvertures de fissures, et les espaces standards comme $SBV(A; \mathbb{R}^k)$ ou même l'espace scalaire $GBV(A)$ ne parviennent pas à fournir une compacité pour les suites minimisantes sans ajouter de termes d'ordre inférieur artificiels.

Dans le cas scalaire ($k=1$), Dal Maso et Toader [18] ont introduit l'espace $GBV^\star(A)$ pour surmonter cela, prouvant que les suites minimisantes peuvent être modifiées pour converger presque partout sans termes de coercivité supplémentaires. Le problème principal abordé dans ce document est l'extension de ce cadre au cas vectoriel ($k > 1$), c'est-à-dire définir et analyser l'espace $GBV^\star(A; \mathbb{R}^k)$, et établir les résultats de compacité et de semi-continuité inférieure nécessaires pour appliquer la méthode directe du calcul des variations.

Méthodologie et définitions
L'auteur, Davide Donati, définit l'espace $GBв\text{T}^\star(A; \mathbb{R}^k)$ en étendant la définition scalaire composante par composante. Une fonction $u \in L^0(A; \mathbb{R}^k)$ appartient à $GBV^\star(A; \mathbb{R}^k)$ si et seulement si chaque composante $u_i$ appartient à l'espace scalaire $GBV^\star(A)$.

Les étapes méthodologiques clés incluent :

1. Caractérisation par composition : Le document caractérise $GBV^\star(A; \mathbb{R}^k)$ non pas simplement par des propriétés composantes par composantes, mais à travers le comportement des compositions avec des fonctions lisses à support compact. Plus précisément, $u \in GBV^\star(A; \mathbb{R}^k)$ si et seulement si, pour toute fonction lipschitzienne $\phi: \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^k$ à support compact, la composition $\phi \circ u$ appartient à $BV(A; \mathbb{R}^k)$, et que la variation totale de ces compositions est contrôlée uniformément par la constante de Lipschitz de $\phi$.
2. Analyse de troncature : L'auteur utilise une famille de fonctions de troncature radiales lisses $\psi_R$ (qui agissent comme l'identité sur des boules de rayon $R$ et s'annulent en dehors du rayon $\sigma R$) pour relier la dérivée généralisée $D^c u$ aux dérivées des fonctions tronquées $\psi_R \circ u$.
3. Adaptation des arguments scalaires : Les preuves pour le cas vectoriel adaptent largement les arguments de la théorie scalaire [18] et des travaux connexes [17], en utilisant des techniques de tranchage (slicing) et la règle de la chaîne pour les fonctions $BV$ afin de gérer la nature vectorielle du problème.

Contributions et résultats clés

1. Définition et propriétés structurelles de $GBV^\star(A; \mathbb{R}^k)$ :

   • L'espace est établi comme un espace vectoriel.
   • Le document prouve que la partie de Cantor de la dérivée, $D^c u$, satisfait la propriété de rang un (analogue au théorème de rang un d'Alberti pour les fonctions $BV$). Ceci est dérivé en montrant que la dérivée de Radon-Nikodym de $D^cs(\psi_R \circ u)$ converge vers celle de $D^c u$, et en appliquant la propriété de rang un connue pour les fonctions $BV$ aux séquences tronquées.
   • La relation entre l'ensemble des sauts $J_u$ et les ensembles de sauts des fonctions tronquées est clarifiée, montrant que $J_{\psi_R \circ u} \subset J_u$ à un ensemble négligeable près.

2. Semi-continuité inférieure :

   • Le document prouve un résultat de semi-continuité inférieure pour les fonctionnelles intégrales de la forme $E_{f,g}$ définies sur $GBV^\star(A; \mathbb{R}^k)$.
   • Sous des conditions de croissance spécifiques sur la densité de volume $f$ (croissance linéaire) et la densité de surface $g$ (croissance linéaire près de zéro, bornée par $|\zeta| \wedge 1$), la fonctionnelle est montrée comme étant semi-continue inférieurement par rapport à la convergence en mesure (topologie $L^0$).
   • La preuve repose sur un argument de tranchage adapté de [9], réduisant le problème vectoriel à un problème unidimensionnel où la semi-continuité inférieure faible dans $BV$ peut être invoquée.

3. Compacité et modification des suites minimisantes :

   • Théorème 4.7 : Le document établit que si une suite $(u_n) \subset GBV^\star(A; \mathbb{R}^k)$ possède une énergie uniformément bornée et satisfait une condition de coercivité légère (bornitude de $\int_A h(|u_n|) dx$ pour un certain $h$ superlinéaire), alors il existe une sous-suite convergeant presque partout au sens $L^d$ vers une limite $u \in GBV^\star(A; \mathbb{R}^k)$.
   • Théorème 4.8 : Crucialement, le document démontre que pour les suites minimisantes satisfaisant des conditions aux limites de Dirichlet, on peut construire une suite modifiée $(y_n)$ telle que :
     • $y_n$ satisfait les mêmes conditions aux limites.
     • $F(y_n) \leq F(u_n) + \varepsilon_n$.
     • La suite modifiée satisfait la condition de coercivité requise pour le Théorème 4.7.
   • Ce résultat implique que les suites minimisantes peuvent être « réparées » pour assurer une convergence presque partout sans ajouter de termes d'ordre inférieur à la fonctionnelle, un avantage significatif pour les preuves d'existence en mécanique de la rupture.

Signification et revendications
Le document affirme que l'introduction de $GBV^\star(A; \mathbb{R}^k)$ et des résultats de compacité associés fournit le cadre analytique nécessaire pour étudier les problèmes de minimisation pour les modèles de rupture cohésive dans le cadre vectoriel.

L'auteur déclare explicitement que ces résultats sont destinés à être utilisés dans un travail ultérieur [15] pour traiter l'homogénéisation des fonctionnelles de type cohésif dans le cadre vectoriel. Le document ne prétend pas résoudre directement des problèmes physiques spécifiques, mais fournit plutôt les outils d'analyse fonctionnelle rigoureux (existence de minimiseurs via la méthode directe) requis pour étudier de tels problèmes. Le travail étend la théorie scalaire de Dal Maso et Toader [18] au cas vectoriel, garantissant que les propriétés de compacité essentielles aux méthodes variationnelles sont préservées lors du traitement de champs de déplacement multidimensionnels.