Counterexamples to maximal regularity for operators in divergence form

技术摘要：散度形式算子极大正则性的反例

问题陈述
本文探讨了关于具有随时间变化系数的散度形式抛物型偏微分方程（PDE）正则性的两个基本问题。作者考虑了如下抽象 Cauchy 问题 (CP)：
$$\begin{cases} u' - Au = f, & \text{在 } (0, 1) \text{ 上}, \\ u(0) = 0, \end{cases}$$
其中 $A(t)$ 是一个将希尔伯特空间 $V$ 映射到其对偶空间 $V^*$ 的强可测算子族，满足强制性和有界性条件。具体而言，作者关注的具体设定是 $H = L^2(\mathbb{R}^d)$，$V = H^1(\mathbb{R}^d)$，且 $A(t)v = -\text{div}(B(t)\nabla v)$，其中 $B$ 是一个一致椭圆矩阵场。

研究调查了两个特定的正则性问题：

1. 问题 1（$V$ 上的极大 $L^p$-正则性）： 对于 $p \in (1, \infty) \setminus \{2\}$，条件 $f \in L^p(0, 1; V^*)$ 是否意味着唯一的弱解 $u$ 属于 $L^p(0, 1; V)$？
2. 问题 2（$H$ 上的极大 $L^2$-正则性）： 条件 $f \in L^2(0, 1; H)$ 是否意味着解的时间导数满足 $u' \in L^2(0, 1; H)$？

虽然 Lions 的理论在仅有强制性条件下保证了 $L^2(0, 1; V) \cap H^1(0, 1; V^*)$ 中的唯一弱解的存在性，且对于自治算子或具有足够时间正则性（例如连续性或 Hölder 连续性）的算子已存在正向结果，但在没有此类正则性假设的情况下，对于一般的随时间变化系数的行为仍是一个开放问题。此前由 Dier 和 Fackler 提出的反例是抽象算子而非微分算子。本文旨在构造出真正的微分算子反例。

方法论
作者的方法依赖于由第二作者在 [19] 中开发的一种关于复系数线性一致抛物型 PDE 解的特定构造。该方法论步骤如下：

1. 标度对称性构造： 作者利用解 $\zeta(t, x)$ 和系数矩阵 $B(t, x)$ 的自相似假设：
   $$\zeta(t, x) = (1-t)^{-\mu/2} e^{-i \log(1-t)/2} w\left(\frac{x}{(1-t)^{1/2}}\right), \quad B(t, x) = a\left(\frac{x}{(1-t)^{1/2}}\right).$$
   这把抛物型 PDE 简化为 $\mathbb{R}^d$ 上关于剖面函数 $w$ 和系数场 $a$ 的椭圆型 PDE。

2. 奇异剖面的存在性： 引用 [19]，作者指出对于任何参数 $\mu \in [0, d/2)$，存在光滑（远离原点）的一致椭圆系数 $a$ 和解 $w$，使得 $w$ 是局部 Lipschitz 连续的，但在无穷远处表现出特定的衰减率（$|x|^{-\mu}$）。至关重要的是，选择 $B$ 的虚部为对称的，这使得在不违反椭圆性条件的情况下，方程的实部与虚部之间可以进行强耦合。

3. 局部化与反例生成： 为了将这些全局解适配到有界时间区间 $(0, 1)$ 以及特定的问题设定中，作者引入了一个光滑截断函数 $\eta$。他们定义了一个新的解候选对象 $u(t, x) = t \zeta(t, x) \eta(x)$ 并推导出相应的强迫项 $f$。

4. 正则性分析： 证明的核心在于估计 $u$ 和 $f$ 的可积性。通过仔细选择参数 $\mu, r$ 和 $s$，作者证明了尽管 $f$ 具有较高的正则性（例如 $f \in L^\infty(0, 1; L^2)$），但解 $u$ 并不属于特定的混合范数空间 $L^r(0, 1; L^s(\mathbb{R}^d))$。

5. 对偶性与插值：

   • 对于 问题 1 中 $p > 2$ 的情况，高阶 $L^r(L^s)$ 可积性的失效直接通过 Sobolev 嵌入暗示了 $L^p(0, 1; H^1)$ 正则性的失效。
   • 对于 问题 1 中 $p < 2$ 的情况，采用了对偶论证。假设极大正则性对 $p$ 成立，将导致与已知的对偶指数 $p'$ 的失效情况相矛盾。
   • 对于 问题 2，使用了复插值和 Sobolev 嵌入定理来表明，如果 $u$ 具有所需的时间正则性（$H^\nu$），那么它必然属于 $L^r(L^s)$ 空间，而这已被证明是不成立的。

主要贡献与结果

• 定理 2.4（高阶可积性的失效）： 对于维度 $d \ge 2$ 及指数 $r, s \in (1, \infty)$ 满足 $\frac{2}{r} + \frac{d}{s} < \frac{d}{2}$，存在一个椭圆矩阵 $B$ 和一个强迫项 $f \in L^\infty(0, 1; L^2)$，使得散度形式方程的唯一解 $u$ 不在 $L^r(0, 1; L^s)$ 中。
• 定理 2.5（问题 1 中极大 $L^p$-正则性的失效）： 对于每个 $p \in (1, \infty) \setminus \{2\}$，存在一个散度形式的椭圆算子和一个强迫项 $f \in L^p(0, 1; H^{-1})$，使得解 $u$ 不属于 $L^p(0, 1; H^1)$。这表明定理 2.2（保证了在 2 的一个小邻域内正则性的结果）是尖锐的，并且不能扩展到整个 $(1, \infty)$ 范围。
• 定理 2.7（问题 2 中极大 $L^2$-正则性的失效）： 对于每个 $\nu \in (1/2, 1]$，存在一个椭圆算子和 $f \in L^\infty(0, 1; L^2)$，使得解 $u$ 不在分数阶 Sobolev 空间 $H^\nu(0, 1; L^2)$ 中。这为 Lions 关于一般散度形式算子的难题提供了负面回答，表明解甚至可能无法在 $L^2$ 中达到 $1/2$ 阶的时间正则性。

意义与主张
本文声称通过提供显式的微分算子反例（而非抽象算子），解决了关于一般随时间变化散度形式算子是否具有极大正则性的问题。

• 现有理论的尖锐性： 这些结果证实了极大 $L^p$-正则性成立的 $p$ 的小区间（定理 2.2）是优化的，且在不对系数进行额外时间正则性假设的情况下，不能扩展到整个 $(1, \infty)$。
• 散度形式结构的局限性： 与 Kato 平方根问题（其中微分结构提供了正向结果）不同，这项工作表明，当系数缺乏时间连续性时，仅靠散度形式结构不足以保证极大正则性。
• 系数的正则性： 作者指出，他们的反例依赖于非时间连续（具体而言，不是作为映射到 $L^\infty$ 的连续映射）的系数 $B$。他们明确指出，为问题 2 寻找具有 Hölder 连续系数（特别是对于 $\nu=1$）的反例仍然是一个开放且有趣的问题，因为对于具有稍高正则性（例如 $C^{1/2+\epsilon}$）的系数，已经存在正向结果。

论文最后指出了一些开放性问题，包括对称/厄米特算子的情形以及一维情形（$d=1$），其中行为可能会有所不同。