Counterexamples to maximal regularity for operators in divergence form

Résumé Technique : Contre-exemples à la régularité maximale pour les opérateurs sous forme de divergence

Énoncé du Problème
Cet article traite de deux questions fondamentales concernant la régularité des solutions d'équations aux dérivées partielles (EDP) paraboliques sous forme de divergence avec des coefficients dépendant du temps. Les auteurs considèrent le problème de Cauchy abstrait (CP) :
$$\begin{cases} u' - Au = f, & \text{sur } (0, 1), \\ u(0) = 0, \end{cases}$$
où $A(t)$ est une famille mesurable au sens fort d'opérateurs allant d'un espace de Hilbert $V$ vers son dual $V^*$, satisfaisant des conditions de coercivité et de bornitude. Plus précisément, les auteurs se concentrent sur le cadre concret où $H = L^2(\mathbb{R}^d)$, $V = H^1(\mathbb{R}^d)$, et $A(t)v = -\text{div}(B(t)\nabla v)$, avec $B$ un champ de matrices uniformément elliptiques.

L'étude examine deux problèmes de régularité spécifiques :

1. Problème 1 (Régularité maximale $L^p$ sur $V$) : Pour $p \in (1, \infty) \setminus \{2\}$, est-ce que la condition $f \in L^p(0, 1; V^*)$ implique que l'unique solution faible $u$ appartient à $L^p(0, 1; V)$ ?
2. Problème 2 (Régularité maximale $L^2$ sur $H$) : Est-ce que la condition $f \in L^2(0, 1; H)$ implique que la dérivée temporelle de la solution satisfait $u' \in L^2(0, 1; H)$ ?

Bien que la théorie de Lions garantisse une solution faible unique dans $L^2(0, 1; V) \cap H^1(0, 1; V^*)$ sous la seule condition de coercivité, et que des résultats positifs existent pour les opérateurs autonomes ou les opérateurs possédant une régularité temporelle suffisante (par exemple, la continuité ou la continuité de Hölder), le comportement pour des coefficients généraux dépendant du temps sans telles hypothèses de régularité reste ouvert. Les contre-exemples précédents de Dier et Fackler étaient abstraits et ne concernaient pas des opérateurs différentiels. Cet article vise à construire des contre-exemples qui sont de véritables opérateurs différentiels.

Méthodologie
L'approche des auteurs repose sur une construction spécifique de solutions d'EDP linéaires uniformément paraboliques à coefficients complexes, développée initialement par le second auteur nommé dans [19]. La méthodologie procède comme suit :

1. Construction par symétrie d'échelle : Les auteurs utilisent un ansatz auto-similaire pour la solution $\zeta(t, x)$ et la matrice de coefficients $B(t, x)$ :
   $$\zeta(t, x) = (1-t)^{-\mu/2} e^{-i \log(1-t)/2} w\left(\frac{x}{(1-t)^{1/2}}\right), \quad B(t, x) = a\left(\frac{x}{(1-t)^{1/2}}\right).$$
   Ceci réduit l'EDP parabolique à une EDP elliptique pour la fonction de profil $w$ et le champ de coefficients $a$ sur $\mathbb{R}^d$.

2. Existence de profils singuliers : Citant [19], les auteurs notent que pour tout paramètre $\mu \in [0, d/2)$, il existe des coefficients $a$ uniformément elliptiques et lisses (loin de l'origine) ainsi que des solutions $w$ telles que $w$ est localement Lipschitz mais présente des taux de décroissance spécifiques à l'infini ($|x|^{-\mu}$). Crucialement, la partie imaginaire de $B$ est choisie pour être symétrique, permettant un fort couplage entre les parties réelle et imaginaire de l'équation sans violer la condition d'ellipticité.

3. Localisation et génération de contre-exemples : Pour adapter ces solutions globales à l'intervalle de temps borné $(0, 1)$ et au cadre spécifique du problème, les auteurs introduisent une fonction de coupure lisse $\eta$. Ils définissent un nouveau candidat de solution $u(t, x) = t \zeta(t, x) \eta(x)$ et en déduisent le terme de forçage $f$ correspondant.

4. Analyse de régularité : Le cœur de la preuve consiste à estimer l'intégrabilité de $u$ et $f$. En sélectionnant soigneusement les paramètres $\mu$, $r$ et $s$, les auteurs démontrent que bien que $f$ possède une haute régularité (par exemple, $f \in L^\infty(0, 1; L^2)$), la solution $u$ ne parvient pas à appartenir à certains espaces de normes mixtes $L^r(0, 1; L^s(\mathbb{R}^d))$.

5. Dualité et interpolation :

   • Pour le Problème 1 avec $p > 2$, l'échec de l'intégrabilité $L^r(L^s)$ implique directement l'échec de la régularité $L^p(0, 1; H^1)$ via l'injection de Sobolev.
   • Pour le Problème 1 avec $p < 2$, un argument de dualité est employé. Supposer que la régularité maximale tient pour $p$ conduit à une contradiction avec l'échec connu pour l'exposant dual $p'$.
   • Pour le Problème 2, l'interpolation complexe et les théorèmes d'injection de Sobolev sont utilisés pour montrer que si $u$ possédait la régularité temporelle requise ($H^\nu$), elle appartiendrait nécessairement à l'espace $L^r(L^s)$, ce qui a déjà été prouvé faux.

Contributions Clés et Résultats

• Théorème 2.4 (Échec de l'intégrabilité supérieure) : Pour les dimensions $d \ge 2$ et les exposants $r, s \in (1, \infty)$ satisfaisant $\frac{2}{r} + \frac{d}{s} < \frac{d}{2}$, il existe une matrice elliptique $B$ et un terme de forçage $f \in L^\infty(0, 1; L^2)$ tels que l'unique solution $u$ de l'équation sous forme de divergence n'est pas dans $L^r(0, 1; L^s)$.
• Théorème 2.5 (Échec de la régularité maximale $L^p$ pour le Problème 1) : Pour tout $p \in (1, \infty) \setminus \{2\}$, il existe un opérateur elliptique sous forme de divergence et un terme de forçage $f \in L^p(0, 1; H^{-1})$ tels que la solution $u$ n'appartient pas à $L^p(0, 1; H^1)$. Cela démontre que le résultat positif du Théorème 2.2 (qui garantit la régularité pour un petit voisinage de 2) est optimal et ne peut être étendu à tout l'intervalle $(1, \infty)$ sans hypothèses supplémentaires sur la régularité temporelle des coefficients.
• Théorème 2.7 (Échec de la régularité maximale $L^2$ pour le Problème 2) : Pour tout $\nu \in (1/2, 1]$, il existe un opérateur elliptique et un $f \in L^\infty(0, 1; L^2)$ tels que la solution $u$ n'est pas dans l'espace de Sobolev fractionnaire $H^\nu(0, 1; L^2)$. Cela fournit une réponse négative au problème de Lions pour les opérateurs de divergence généraux, montrant que la solution peut échouer à avoir même une régularité temporelle d'ordre $1/2$ dans $L^2$.

Signification et Revendications
L'article prétend résoudre la question de savoir si la régularité maximale tient pour les opérateurs généraux sous forme de divergence en fournissant des contre-exemples explicites qui sont des opérateurs différentiels, plutôt que des opérateurs abstraits.

• Optimalité de la théorie existante : Les résultats confirment que le petit intervalle de $p$ pour lequel la régularité maximale $L^p$ tient (Théorème 2.2) est optimal et ne peut être étendu à tout l'intervalle $(1, \infty)$ sans hypothèses additionnelles sur la régularité temporelle des coefficients.
• Limites de la structure sous forme de divergence : Contra�irement au problème de la racine carrée de Kato, où la structure différentielle a apporté des résultats positifs, ce travail montre que la structure de divergence seule est insuffisante pour garantir la régularité maximale lorsque les coefficients manquent de continuité temporelle.
• Régularité des coefficients : Les auteurs notent que leurs contre-exemples reposent sur des coefficients $B$ qui ne sont pas continus dans le temps (spécifiquement, pas continus comme applications dans $L^\infty$). Ils précisent explicitement que trouver un contre-exemple pour le Problème 2 avec des coefficients de Hölder continus (spécifiquement pour $\nu=1$) demeure un problème ouvert et intéressant, car des résultats positifs existent pour des coefficients possédant une régularité légèrement supérieure (par exemple, $C^{1/2+\epsilon}$).

L'article conclut en reconnaissant des questions ouvertes, incluant le cas des opérateurs symétriques/hermitiens et le cadre unidimensionnel ($d=1$), où le comportement pourrait différer.