Quasi-canonical AFL and Arithmetic Transfer conjectures at parahoric levels

技术摘要：拟典范 AFL 与 parahoric 层级下的算术转移猜想

问题陈述
本文致力于在存在分歧（ramification）的情况下，提出并验证算术转移（AT）猜想，这些猜想是算术基本引理（AFL）猜想的变体。经典的 AFL 猜想由 Zhang、Mihatsch–Zhang 和 Z. Zhang 确立，它将球面 Hecke 代数中单位元的轨道积分的导数，与 Rapoport–Zink（RZ）$p$-可除群形式模空间上的算术相交数联系起来。这一经典设定要求一个非分歧的二次扩张 $F/F_0$、一个单位长度的特殊向量以及一个超特殊（hyperspecial）层级结构。

作者研究了放松“非分歧”假设的情形，具体而言是考虑非超特殊的 parahoric 层级结构。这给问题引入了分歧。在此背景下构建 AT 猜想的主要障碍在于几何侧：为了定义 Serre 相交重数，环境 RZ 空间必须是正则的。当层级结构非超特殊时，自然乘积空间往往不是正则的，因此需要构造新的积分模型并解决奇点问题。

方法论
本文分为两个独立的部分，采用了算术几何、形变理论和调和分析的混合方法。

1. 几何构造与分析（第二部分）：

   • 作者聚焦于空间 $\widetilde{\mathcal{N}}_n^{[1]}$，这是 RZ 塔中对应于非拟分裂酉群中非 parahoric 子群的某个成员的积分模型。该空间作为纤维积出现，连接了 $\mathcal{N}_n^{[1]}$（层级 $r=1$）和 $\mathcal{N}_{n+1}^{[0]}$（超特殊层级）。
   • 利用 Dieudonné 理论和 Grothendieck–Messing 形变理论，作者分析了 $\widetilde{\mathcal{N}}_n^{[1]}$ 的 $\bar{k}$-点及其局部结构，以及特殊除子 $Z(u)$（与估值为 1 的特殊向量相关联）的局部结构。
   • 他们证明了 $\widetilde{\mathcal{N}}_n^{[1]}$ 是 $n$ 维正则的。映射 $\pi_1: \widetilde{\mathcal{N}}_n^{[1]} \to \mathcal{N}_n^{[1]}$ 被证明是有限平坦的，次数为 $q+1$，在“气球区域”（balloon locus）之外是平展的，并沿该区域完全分歧。映射 $\pi_2: \widetilde{\mathcal{N}}_n^{[1]} \to Z(u)$ 是沿零维子概形的吹胀。
   • 证明了 $Z(u)$ 的特殊纤维在零维闭集之外是正则的，其奇点具有特定类型（拟典范）。

2. 算术转移猜想与证明（第一部分）：

   • 作者在上述构造的正则空间上定义算术相交数，具体是在诸如 $\widetilde{\mathcal{N}}_n^{[r]} \times \mathcal{N}_{n+1}^{[0]}$ 及其“图版本” $\widetilde{\mathcal{N}}_n^{[r]} \times \mathcal{N}_{n+1}$ 的乘积上。
   • 他们提出了 AT 猜想，将这些相交数与特定测试函数的轨道积分的导数联系起来。这些测试函数是利用球面 Hecke 代数之间的基变换同态和原子 Hecke 函数构造的。
   • 图版本： 作者证明了 AT 猜想的“图版本”。通过将映射 $\pi_2$ 图像上的相交数与特殊除子 $Z(u)$ 上的相交数联系起来，他们将问题归结为已知的 AFL（针对偶数 $r$）和新建立的“拟典范 AFL"（针对奇数 $r$）。
   • 拟典范 AFL： 一个核心结果是证明了拟典范 AFL，该结果处理了特殊向量估值为 1（层级 1）的情形。这涉及为 Hecke 代数中特定的非单位元建立转移定理，并证明拟典范除子 $Z(u)$ 上相交数的相应恒等式。
   • 归约到已知情形： 对于 $r$ 为偶数的情形，作者表明，只要存在必要的转移函数，AT 猜想就遵循于整个 Hecke 代数的 AFL（[14] 中的猜想 9.2.3）。对于特定的小情形（例如 $n=r=1$），他们显式地验证了这些猜想。

主要贡献与结果

• $\widetilde{\mathcal{N}}_n^{[1]}$ 的结构： 本文提供了神秘空间 $\widetilde{\mathcal{N}}_n^{[1]}$ 的完整结构描述，证明了其正则性，并详细阐述了映射 $\pi_1$ 和 $\pi_2$ 的几何性质。这证实了 Kudla 和 Rapoport 关于几乎自对偶 RZ 塔几何的猜想。
• 拟典范 AFL： 作者建立了拟典范 AFL（定理 7.2.1），它将拟典范除子 $Z(u)$（估值为 1）上的相交数与特定转移函数的轨道积分的导数联系起来。这填补了分歧情形下 AFL 理论的空白。
• AT 猜想的图版本： 本文证明了类型 $(r, 0)$ 的 AT 猜想的图版本（定理 1.0.2）。该结果“相当完整”，涵盖了 $r$ 为偶数的情形（通过归约到 AFL）和 $r$ 为奇数的情形（通过归约到拟典范 AFL）。
• 显式 AT 猜想： 作者为各种类型 $(r, 0)$ 和 $(0, r)$ 提出了显式的 AT 猜想，并通过基变换同态确定了候选测试函数。
  • 对于偶数 $r$，猜想与整个 Hecke 代数的 AFL 相关联。
  • 对于奇数 $r=n$，提出了一个特定猜想，并在 $n=1$ 时证明了它。
  • 对于其他奇数 $r$，假设了转移函数的存在性，但在所有情形下并未提供显式的候选者。
• 简单情形下的验证： 本文在特定的简单情形下证明了猜想，特别是 $n=1$ 和 $r=1$，并展示了在 $r$ 为偶数的情形下，一般猜想如何遵循于整个 Hecke 代数的 AFL。

意义与范围
本文声称在自然约束下穷尽了 AT 猜想的所有可能情形：环境空间必须是最大 parahoric 层级的 RZ 空间的乘积且必须是正则的，且循环必须是例外特殊除子（Z-除子或 Y-除子）的拉回。

其意义在于将 AFL 框架扩展到非分歧、超特殊设定之外。通过证明所需积分模型的正则性并建立拟典范 AFL，作者为在存在 parahoric 层级结构的情况下提出并部分证明 AT 猜想提供了所需的几何基础。这些结果验证了 AT 猜想图版本在特定情形下的假设，并为未来在尚未知晓显式测试函数的剩余情形下的工作提供了路线图。作者明确指出，虽然他们为所有剩余情形提出了猜想，但在一般奇数 $r$ 的情形下（除了 $r=n=1$ 之外），他们并没有显式的测试函数候选者，并将此留待未来研究。