Quasi-canonical AFL and Arithmetic Transfer conjectures at parahoric levels

Résumé technique : Conjectures AFL quasi-canoniques et de transfert arithmétique aux niveaux parahoriques

Énoncé du problème
L'article aborde la formulation et la vérification des conjectures de transfert arithmétique (TA), qui sont des variantes de la conjecture du Lemme Fondamental Arithmétique (AFL) en présence de ramification. La conjecture AFL classique, établie par Zhang, Mihatsch–Zhang et Z. Zhang, relie la dérivée d'une intégrale orbitale de l'élément unité dans une algèbre de Hecke sphérique à un nombre d'intersection arithmétique sur un espace de modules formel de Rapoport–Zink (RZ) de groupes $p$-divisibles. Ce cadre classique nécessite une extension quadratique non ramifiée $F/F_0$, un vecteur spécial de longueur unité et une structure de niveau hyperspéciale.

Les auteurs étudient le scénario où les hypothèses de « non-ramification » sont assouplies, spécifiquement en considérant des structures de niveau parahoriques non hyperspéciales. Cela introduit une ramification dans le problème. Un obstacle majeur dans la formulation des conjectures TA dans ce contexte est le côté géométrique : les espaces RZ ambiants doivent être réguliers pour définir les multiplicités d'intersection de Serre. Lorsque la structure de niveau est non hyperspéciale, les espaces produits naturels sont souvent non réguliers, nécessitant la construction de nouveaux modèles entiers et la résolution de singularités.

Méthodologie
L'article est divisé en deux parties indépendantes, employant un mélange de géométrie arithmétique, de théorie des déformations et d'analyse harmonique.

1. Construction et analyse géométriques (Partie 2) :

   • Les auteurs se concentrent sur l'espace $\widetilde{\mathcal{N}}_n^{[1]}$, un modèle entier d'un membre de la tour RZ correspondant à un sous-groupe non parahorique dans un groupe unitaire non quasi-déployé. Cet espace apparaît comme un produit fibré reliant $\mathcal{N}_n^{[1]}$ (niveau $r=1$) et $\mathcal{N}_{n+1}^{[0]}$ (niveau hyperspéciale).
   • En utilisant la théorie de Dieudonné et la théorie des déformations de Grothendieck–Messing, les auteurs analysent les points $\bar{k}$ et la structure locale de $\widetilde{\mathcal{N}}_n^{[1]}$ et du diviseur spécial $Z(u)$ (associé à un vecteur spécial de valuation 1).
   • Ils prouvent que $\widetilde{\mathcal{N}}_n^{[1]}$ est régulier de dimension $n$. Le morphisme $\pi_1: \widetilde{\mathcal{N}}_n^{[1]} \to \mathcal{N}_n^{[1]}$ est montré comme étant fini plat de degré $q+1$, étale en dehors d'un « lieu ballon » et totalement ramifié le long de celui-ci. Le morphisme $\pi_2: \widetilde{\mathcal{N}}_n^{[1]} \to Z(u)$ est une éclatement le long d'un schéma de dimension zéro.
   • La fibre spéciale de $Z(u)$ est montrée comme étant régulière en dehors d'un sous-ensemble fermé de dimension zéro, les singularités étant d'un type spécifique (quasi-canonique).

2. Conjectures de transfert arithmétique et preuves (Partie 1) :

   • Les auteurs définissent des nombres d'intersection arithmétique sur les espaces réguliers construits ci-dessus, spécifiquement sur des produits tels que $\widetilde{\mathcal{N}}_n^{[r]} \times \mathcal{N}_{n+1}^{[0]}$ et leurs « versions graphes » $\widetilde{\mathcal{N}}_n^{[r]} \times \mathcal{N}_{n+1}$.
   • Ils formulent des conjectures TA reliant ces nombres d'intersection aux dérivées d'intégrales orbitales de fonctions tests spécifiques. Ces fonctions tests sont construites en utilisant des homomorphismes de changement de base entre les algèbres de Hecke sphériques et les fonctions de Hecke atomiques.
   • Version graphe : Les auteurs prouvent une « version graphe » de la conjecture TA. En reliant le nombre d'intersection sur le graphe du morphisme $\pi_2$ au nombre d'intersection sur le diviseur spécial $Z(u)$, ils réduisent le problème à l'AFL connu (pour $r$ pair) et à l'AFL « quasi-canonique » nouvellement établi (pour $r$ impair).
   • AFL quasi-canonique : Un résultat central est la preuve de l'AFL quasi-canonique, qui traite le cas où le vecteur spécial a une valuation 1 (niveau 1). Cela implique d'établir un théorème de transfert pour des éléments non unitaires spécifiques dans l'algèbre de Hecke et de prouver l'identité correspondante pour le nombre d'intersection sur le diviseur quasi-canonique $Z(u)$.
   • Réduction aux cas connus : Pour les cas où $r$ est pair, les auteurs montrent que la conjecture TA découle de l'AFL pour toute l'algèbre de Hecke (Conjecture 9.2.3 dans [14]), à condition que les fonctions de transfert nécessaires existent. Pour des cas spécifiques et petits (par exemple $n=r=1$), ils vérifient explicitement les conjectures.

Contributions et résultats clés

• Structure de $\widetilde{\mathcal{N}}_n^{[1]}$ : L'article fournit une description structurelle complète de l'espace mystérieux $\widetilde{\mathcal{N}}_n^{[1]}$, prouvant sa régularité et détaillant la géométrie des morphismes $\pi_1$ et $\pi_2$. Cela confirme les conjectures de Kudla et Rapoport concernant la géométrie des tours RZ presque autoduales.
• AFL quasi-canonique : Les auteurs établissent l'AFL quasi-canonique (Théorème 7.2.1), qui relie le nombre d'intersection sur le diviseur quasi-canonique $Z(u)$ (valuation 1) à la dérivée des intégrales orbitales d'une fonction de transfert spécifique. Cela comble une lacune dans la théorie AFL pour les contextes ramifiés.
• Version graphe des conjectures TA : L'article prouve la version graphe de la conjecture TA pour le type $(r, 0)$ (Théorème 1.0.2). Ce résultat est « raisonnablement complet », couvrant les cas où $r$ est pair (via réduction à l'AFL) et $r$ est impair (via réduction à l'AFL quasi-canonique).
• Conjectures TA explicites : Les auteurs formulent des conjectures TA explicites pour divers types $(r, 0)$ et $(0, r)$, identifiant des fonctions tests candidates via des homomorphismes de changement de base.
  • Pour $r$ pair, la conjecture est liée à l'AFL pour toute l'algèbre de Hecke.
  • Pour $r=n$ impair, une conjecture spécifique est formulée et prouvée pour $n=1$.
  • Pour d'autres $r$ impairs, l'existence d'une fonction de transfert est postulée, mais des candidats explicites ne sont pas fournis dans tous les cas.
• Vérification dans des cas simples : L'article prouve les conjectures dans des cas simples spécifiques, notamment $n=1$ et $r=1$, et démontre comment les conjectures générales découlent de l'AFL pour toute l'algèbre de Hecke dans le cas $r$ pair.

Portée et signification
L'article prétend avoir épuisé les cas possibles pour les conjectures TA sous des contraintes naturelles : l'espace ambiant doit être un produit d'espaces RZ de niveaux parahoriques maximaux et être régulier, et les cycles doivent être des images inverses de diviseurs spéciaux exceptionnels (diviseurs Z ou diviseurs Y).

La signification réside dans l'extension du cadre AFL au-delà du contexte non ramifié et hyperspécifique. En prouvant la régularité des modèles entiers nécessaires et en établissant l'AFL quasi-canonique, les auteurs fournissent le fondement géométrique requis pour formuler et prouver partiellement les conjectures TA en présence de structures de niveau parahoriques. Les résultats vérifient les hypothèses de la version graphe des conjectures TA dans un cas particulier et offrent une feuille de route pour les travaux futurs sur les cas restants où les fonctions tests explicites ne sont pas encore connues. Les auteurs notent explicitement que, bien qu'ils aient formulé des conjectures pour tous les cas restants, ils ne disposent pas de candidats explicites pour les fonctions tests dans le cas général $r$ impair (au-delà de $r=n=1$) et laissent cela pour une investigation future.