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Voting with Partial Orders: The Plurality and Anti-Plurality Classes

本文探讨并提供了将多数制和反多数制投票规则扩展到选民偏好以偏序而非全序形式表达的场合的公理化刻画。

原作者： Ulle Endriss, Federico Fioravanti

发布于 2026-05-21

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原作者： Ulle Endriss, Federico Fioravanti

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

想象一下，你正在组织一场比赛，以选出最佳移动应用程序。通常，在投票理论中，我们会要求人们将每一个选项从“最好”到“最差”进行严格排序，就像爬梯子一样。但在现实生活中，要求某人将 50 个应用程序从 1 到 50 进行排序既令人疲惫，又往往不可能。你可能喜欢 Instagram 和 Facebook，但完全不知道 Uber 与 Gmail 相比如何。你根本无法将它们进行比较。

本文探讨的是：当人们的偏好是混乱的、不完整的，或者是“部分的”而非完美的线性排序时，该如何进行投票。作者 Ulle Endriss 和 Federico Fioravanti 问道：我们如何调整最著名的投票规则，以应对这种混乱，同时又不失去它们的简洁性？

以下是他们工作的分解，使用了日常类比。

两大主要规则：“顶部”与“底部”

在标准投票中，有两种著名的选出获胜者的方法：

多数制（Plurality）：你为你绝对最喜欢的项目投出一票。得票最多者获胜。
反多数制（或否决制，Anti-Plurality/Veto）：你为你绝对最不喜欢的项目投出一张“负面票”（或行使否决权）。被否决次数最少者获胜。

作者问道：当一位选民没有唯一的“最爱”或唯一的“最不爱”，而是拥有一整组这样的选项时，会发生什么？

“多数制类”（顶部群体）

当你无法对所有事物进行排序时，你可能会拥有一个“顶部集合”，其中的应用程序你同样喜欢（例如，Instagram、Gmail 和 Uber 都是“好的”，但你无法说出哪个是第一名）。

旧方法：在完美的线性排序中，你只选出一个第一名。
新方法：作者定义了一整套规则，称为多数制类（Plurality Class）。
- 简单多数制：给你的“顶部集合”中的每一个应用程序各得 1 分，其余得 0 分。
- 智能多数制：也许在你心中，Instagram 胜过其他 3 个应用程序，而 Uber 则没有胜过任何。作者认为，即使 Instagram 和 Uber 都在顶部群体中，给 Instagram 更多的分数也是公平的，因为 Instagram 在你的偏好中更具“主导地位”。
- 均匀多数制：最简单的版本。无论顶部集合中的应用程序彼此之间如何比较，都给每个人 1 分。

“反多数制类”（底部群体）

同样，你可能拥有一个“底部集合”，其中的应用程序你同样讨厌（例如，你认为 Yahoo 和某个特定的冷门应用程序都很糟糕）。

新方法：反多数制类（Anti-Plurality Class） 扩展了“否决”规则。
- 你不再仅仅否决一个最差的选项，而是可能否决一整组最差的选项。
- 就像多数制那一侧一样，你可以拥有将所有底部选项同等对待的规则，也可以拥有给那些在底部群体中明显比其他选项更差的选项给予“额外负面分数”的规则。

“游戏规则”（公理）

为了证明这些新规则是合理的，作者使用了一组逻辑上的“游戏规则”（称为公理）。你可以将这些视为公平选举的宪法。

匿名性与中立性：谁投票或应用程序叫什么名字并不重要。如果每个人交换他们的选票，获胜者也应该只是交换名字而已。
强化性：如果 A 组投票并选择了应用程序 X，B 组投票也选择了应用程序 X，那么当合并这两组时，应用程序 X 应该仍然获胜。
连续性：一小群选民不应该能够完全推翻巨大的多数派。（尽管他们可以打破平局）。
忠实性（“顶部”规则）：如果只有一位选民，获胜者必须是他们顶部选择中的一个。你不应该仅仅因为数学计算而选择一个他们讨厌的应用程序。
厌恶性（“底部”规则）：如果只有一位选民，获胜者不应是他们底部选择中的一个（除非他们同样讨厌所有事物）。
一致性（“共识”规则）：如果你增加了新的选民，他们同意当前的获胜者（例如，他们没有将获胜者排在底部），那么获胜者不应该突然落选。
收缩/扩张：如果一位选民决定缩小他们的最爱列表（从顶部移除一些），那些原本获胜的人应该继续保持获胜。

重大发现

作者证明，如果一个投票规则遵循这些特定的“公平”规则，它就必须属于这些家族之一（多数制或反多数制）。

主要结果：如果你想要一个尊重“顶部集合”逻辑并遵循公平规则的规则，你就被迫使用来自多数制类的规则。
具体结果：如果你想要最简单的版本（即顶部集合中的每个人获得完全相同的分数，无论他们彼此之间如何比较），你就必须使用均匀多数制规则。

他们对“反多数制”（否决）一侧做了完全相同的事情，证明了处理“底部集合”的唯一公平方式就是反多数制类中的规则。

与“批准投票”的联系

该论文还展示了一个巧妙的技巧：批准投票（即你只需勾选你喜欢的应用程序）实际上是这种混乱的“偏序”投票的一个特例。

在批准投票中，你的“顶部集合”是你勾选的应用程序，而你的“底部集合”是你未勾选的应用程序。
作者表明，他们的新数学证明了标准的批准投票规则实际上只是应用于这种特定类型选票的均匀多数制规则（或均匀反多数制规则）。

总结

这篇论文就像一座桥梁。它将简单、众所周知的投票规则（多数制和否决制）与人类偏好的复杂、混乱的现实（即我们经常无法对所有事物进行比较）连接起来，并架起了一座坚固的桥梁。他们证明，存在一个特定的、合乎逻辑的规则家族，能够完美地契合这座桥梁，确保即使选民不确定或列表不完整，选举依然公平且可预测。

技术摘要：基于偏序的投票——多数派与反多数派类

1. 问题陈述

本文探讨了当个体偏好表示为严格偏序而非经典社会选择理论中使用的标准线性序（完全排序）时，集体决策的问题。在许多实际场景中，要求选民对大量备选方案进行完全排序是过于苛刻的。偏序允许选民对某些方案对表达严格偏好，同时对其他方案对保持无差异或无法比较。

核心挑战在于将众所周知的多数派规则（选择最频繁排在首位的备选方案）和反多数派规则（选择最频繁排在末位的备选方案，也称为否决制）扩展到该领域。一个关键难点在于，在偏序中，选民可能拥有多个“首位”备选方案（没有方案优于它们）或多个“末位”备选方案（没有方案优于它们），且这些集合的结构在不同选民之间可能存在显著差异。本文旨在识别并公理化地刻画将上述标准规则推广到偏序领域的自然投票规则类。

2. 方法论

作者在可变选民模型（任何无限选民宇宙中的有限子集均可参与）中采用公理化方法。

模型

备选方案：有限集合 $A$ ，其中 $|A| = m \geq 3$ 。
偏好：严格偏序 $\succ$ （非自反、反对称、传递）。
关键集合：
- $T(\succ)$ ：首位备选方案集合（极大元）。
- $B(\succ)$ ：末位备选方案集合（极小元）。
- $NT(\succ)$ 和 $NB(\succ)$ ：非首位和非末位集合，分别对应。
投票规则：将偏序剖面映射到非空获胜备选方案集合的函数。

计分规则

本文关注位置计分规则，其中备选方案的得分仅取决于其在偏好图中的位置。作者根据如何为首位和末位集合分配分数，定义了若干规则类：

多数派类：非首位备选方案获得常数分数 $k'$ ，而首位备选方案获得 $\geq k'$ 的分数，且至少有一个首位备选方案获得严格更高的分数。
简单多数派类：所有首位备选方案获得相同的分数 $k$ 。
单调简单多数派类：首位与非首位备选方案之间的分数差随着首位集合大小的减小而增加（奖励“更果断”的首位排序）。
均匀多数派规则：一种特定规则，其中每个首位备选方案得 1 分，每个非首位备选方案得 0 分。
反多数派类：对称定义，关注末位集合（非末位得分为 $k$ ，末位得分 $\leq k$ ）。

公理

刻画依赖于一系列公理，包括针对偏序调整的标准公理以及受批准投票启发的新公理：

标准公理：匿名性、中立性、强化（一致性）和连续性。
响应性：部分忠实性（单个选民选择首位）、忠实性（单个选民恰好选择首位）、部分厌恶性（单个选民不选择所有末位）、厌恶性（单个选民不选择任何末位）。
一致性：T-一致性（增加不将 $x$ 排在首位的选民不应使 $x$ 获胜）和 B-一致性（增加不将 $x$ 排在末位的选民不应使 $x$ 落选）。
收缩/扩张：关于当选民缩小其首位集合或扩大其末位集合时结果如何变化的约束。
技术性质：仅首位和仅末位（结果仅取决于首位/末位集合）。

3. 主要贡献与结果

计分规则的刻画

定理 1 确立了：一个投票规则满足匿名性、中立性、强化和连续性，当且仅当它是位置计分规则。这将 Young (1975) 的经典结果推广到了偏序领域。

多数派家族

本文提供了多数派类的公理化刻画：

定理 2：一个规则属于多数派类，当且仅当它满足匿名性、中立性、强化、连续性、部分忠实性以及T-一致性。
推论 3：简单多数派类通过将部分忠实性替换为忠实性来刻画。
定理 4：单调简单多数派类通过在简单多数派类的公理基础上增加收缩公理来刻画。
定理 6：均匀多数派规则通过匿名性、中立性、强化、部分忠实性以及强收缩来刻画。该证明依赖于表明强收缩蕴含仅首位性质，从而将问题简化为线性序情形，在此情形下 Sekiguchi (2012) 的刻画适用。

反多数派家族

针对反多数派类提供了对称的结果：

定理 9：一个规则属于反多数派类，当且仅当它满足匿名性、中立性、强化、连续性、部分厌恶性以及B-一致性。
推论 10：简单反多数派类通过将部分厌恶性替换为厌恶性来刻画。
定理 11：单调简单反多数派类通过增加扩张公理来刻画。
定理 13：均匀反多数派规则通过匿名性、中立性、强化、部分厌恶性以及强扩张来刻画。

公理的独立性

作者通过构建满足除一个公理外所有公理的规则反例，证明了这些刻画中所用公理的逻辑独立性（命题 7、8、14、15）。值得注意的是，他们强调连续性对于偏序设定下多数派和反多数派类的刻画是必要的，而在标准线性序多数派规则中（例如 Ching, 1996），它通常是可省略的。这种必要性源于偏序中首位/末位集合结构的变化，使得在没有连续性的情况下，像 T-一致性和收缩这样的公理变得限制力不足。

在批准投票中的应用

本文表明，其结果适用于批准投票，其中选票是一个偏序，其不相交的首位和末位集合覆盖了所有备选方案（ $T(\succ) \cap B(\succ) = \emptyset$ 且 $T(\succ) \cup B(\succ) = A$ ）。

推论 16：规模批准投票规则（得分取决于批准集合的大小）通过单调简单多数派类的公理（含部分忠实性）来刻画。
推论 17 和 18：标准批准投票规则分别通过均匀多数派规则和均匀反多数派规则的公理来刻画。
推论 19：“反规模”批准规则（倾向于更大的批准集合）通过单调简单反多数派公理来刻画。

4. 意义与主张

本文声称提供了偏序领域内类多数派和类反多数派规则的首次公理化刻画。其意义在于：

推广：成功将多数派和反多数派的直观逻辑（关注首位和末位位置）扩展到“首位”和“末位”是集合而非单个元素的设定中，尊重了偏序的结构丰富性。
统一：统一了对这些规则在线性序、偏序和批准投票中的理解。作者指出，他们对线性序的刻画收敛于既有的文献结果，验证了这种推广的有效性。
批准投票的新见解：通过从偏序框架推导这些结果，本文为标准和基于规模的批准投票规则提供了新的、独立的公理化刻画，避免了直接依赖批准投票文献中通常隐含的“仅首位”假设。
领域的微妙性：结果揭示了基于偏序投票的具体微妙之处，特别是连续性公理在这一更广泛背景下的必要性，这使其与线性序情形区分开来。

作者总结道，虽然他们专注于多数派和反多数派，但其框架为将其他计分规则（如波达计数法、累积投票、逐步法）类似地推广到偏序领域打开了大门。