技術的概要：部分順序による投票—— plurality および anti-plurality クラス

1. 問題提起

本論文は、古典的社会選択理論で用いられる標準的な線形順序（完全な順位付け）ではなく、厳密な部分順序として表現される個人の選好における集団的意思決定の問題を取り扱っている。多くの実用的なシナリオにおいて、有権者に大規模な代替案の集合を完全に順位付けさせることは過度に負担がかかる。部分順序であれば、有権者は一部の対について厳密な選好を表明しつつ、他の対については無関心であったり、比較できなかったりすることを可能にする。

中心的な課題は、よく知られた plurality 規則（最も頻繁に最上位にランク付けされた代替案を選択する）および anti-plurality 規則（最も頻繁に最下位にランク付けされた代替案を選択する。拒否権とも呼ばれる）をこの領域に拡張することである。重要な難点は、部分順序において、有権者は複数の「最上位」代替案（それらよりも好まれないものがない）または複数の「最下位」代替案（それらよりも好まれないものがない）を持つ可能性があり、これらの集合の構造は有権者間で著しく変動し得る点にある。本論文は、これらの標準的な規則を部分順序に一般化する投票規則の自然なクラスを特定し、公理的に特徴づけることを目指している。

2. 方法論

著者らは、変化する有権者集団（無限の有権者宇宙の任意の有限部分集合が参加し得る）のモデル内で、公理的アプローチを採用している。

モデル

• 代替案: 有限集合 $A$、$|A| = m \geq 3$。
• 選好: 厳密な部分順序 $\succ$（非反射的、反対称的、推移的）。
• 主要な集合:
  • $T(\succ)$: 最上位代替案の集合（極大元）。
  • $B(\succ)$: 最下位代替案の集合（極小元）。
  • $NT(\succ)$ および $NB(\succ)$: それぞれ、最上位ではない集合および最下位ではない集合。
• 投票規則: 部分順序のプロファイルを、空でない勝者代替案の集合へ写す関数。

採点規則

本論文は、代替案のスコアが選好グラフ内でのその位置のみに依存する位置採点規則に焦点を当てている。著者らは、最上位および最下位の集合にスコアを割り当てる方法に基づいて、いくつかの規則のクラスを定義する：

1. Plurality クラス: 最上位ではない代替案は一定のスコア $k'$ を受け取り、最上位の代替案は $k'$ 以上のスコアを受け取るが、少なくとも 1 つの最上位代替案は厳密にそれより多くのスコアを受け取る。
2. 単純 Plurality クラス: すべての最上位代替案は同じスコア $k$ を受け取る。
3. 単調単純 Plurality クラス: 最上位集合のサイズが減少するにつれて、最上位と最上位ではない代替案間のスコア差が増加する（より決定的な最上位順位付けを報酬する）。
4. 均一 Plurality 規則: 各最上位代替案に 1 点、各最上位ではない代替案に 0 点が割り当てられる特定の規則。
5. Anti-Plurality クラス: 対称的に定義され、最下位集合に焦点を当てる（最下位ではないものはスコア $k$ を受け取り、最下位は $k$ 以下のスコアを受け取る）。

公理

特徴づけは、部分順序向けに適応された標準的な公理群と、承認投票に着想を得た新しい公理群に依存している：

• 標準的: 匿名性、中立性、強化（一貫性）、および連続性。
• 反応性: 部分忠実性（単一の有権者が最上位を選択する）、忠実性（単一の有権者がまさに最上位のみを選択する）、部分忌避性（単一の有権者がすべて最下位を選択しない）、忌避性（単一の有権者がいかなる最下位も選択しない）。
• 一致性: T-一致性（$x$ を最上位にランク付けしない有権者を追加しても $x$ が勝つべきではない）および B-一致性（$x$ を最下位にランク付けしない有権者を追加しても $x$ が負けるべきではない）。
• 縮小/拡大: 有権者が最上位集合を縮小または最下位集合を拡大した際の帰結の変化に関する制約。
• 技術的性質: Tops-Only および Bottoms-Only（帰結は最上位/最下位集合のみに依存する）。

3. 主要な貢献と結果

採点規則の特徴づけ

定理 1 は、ある投票規則が匿名性、中立性、強化、および連続性を満たすならば、かつその逆もまた成り立つならば、それは位置採点規則であるとする。これは Young (1975) の古典的結果を部分順序の領域に適応させたものである。

Plurality ファミリー

本論文は、Plurality クラスに対する公理的特徴づけを提供する：

• 定理 2: 規則がPlurality クラスに属するならば、かつその逆もまた成り立つならば、それは匿名性、中立性、強化、連続性、部分忠実性、およびT-一致性を満たす。
• 系 3: 単純 Plurality クラスは、部分忠実性を忠実性に置き換えることで特徴づけられる。
• 定理 4: 単調単純 Plurality クラスは、単純 Plurality クラスの公理に縮小公理を追加することで特徴づけられる。
• 定理 6: 均一 Plurality 規則は、匿名性、中立性、強化、部分忠実性、および強縮小によって特徴づけられる。証明は、強縮小が Tops-Only を意味することを示し、問題を Sekiguchi (2012) の特徴づけが適用される線形順序の場合に帰着させることに基づいている。

Anti-Plurality ファミリー

Anti-Plurality クラスに対しても対称的な結果が提供される：

• 定理 9: 規則がAnti-Plurality クラスに属するならば、かつその逆もまた成り立つならば、それは匿名性、中立性、強化、連続性、部分忌避性、およびB-一致性を満たす。
• 系 10: 単純 Anti-Plurality クラスは、部分忌避性を忌避性に置き換えることで特徴づけられる。
• 定理 11: 単調単純 Anti-Plurality クラスは、拡大公理を追加することで特徴づけられる。
• 定理 13: 均一 Anti-Plurality 規則は、匿名性、中立性、強化、部分忌避性、および強拡大によって特徴づけられる。

公理の独立性

著者らは、これらの特徴づけで使用された公理の論理的独立性を実証している（命題 7, 8, 14, 15）。具体的には、すべての公理を満たすが 1 つの公理のみを満たさない反例規則を構築している。特に、連続性が部分順序設定における Plurality および Anti-Plurality クラスの特徴づけに必要であるが、標準的な線形順序 Plurality 規則（例：Ching, 1996）ではしばしば不要である点を強調している。この必要性は、部分順序における最上位/最下位集合の多様な構造が、連続性なしには T-一致性や縮小のような公理をより制限の少ないものにしてしまうことから生じる。

承認投票への応用

本論文は、その結果が承認投票に適用可能であることを示している。ここで、投票用紙は、すべての代替案をカバーする互いに素な最上位および最下位集合を持つ部分順序である（$T(\succ) \cap B(\succ) = \emptyset$ かつ $T(\succ) \cup B(\succ) = A$）。

• 系 16: サイズ承認投票規則（スコアが承認集合のサイズに依存するもの）は、単調単純 Plurality クラスの公理（部分忠実性を伴う）によって特徴づけられる。
• 系 17 および 18: 標準的な承認投票規則は、それぞれ均一 Plurality および均一 Anti-Plurality 規則の公理によって特徴づけられる。
• 系 19: 「サイズ反転」承認規則（より大きな承認集合を好むもの）は、単調単純 Anti-Plurality 公理によって特徴づけられる。

4. 意義と主張

本論文は、部分順序の領域に対する Plurality 型および Anti-Plurality 型の規則の最初の公理的特徴づけを提供すると主張している。その意義は以下の点にある：

1. 一般化: 「最上位」および「最下位」が単一の要素ではなく集合であるという設定において、Plurality および Anti-Plurality（最上位および最下位の位置に焦点を当てる）の直感的な論理を成功裡に拡張し、部分順序の構造的豊かさを尊重している。
2. 統合: 線形順序、部分順序、および承認投票におけるこれらの規則の理解を統合している。著者らは、線形順序に対する彼らの特徴づけが確立された文献の結果に収束することを指摘し、一般化の妥当性を検証している。
3. 承認投票への新たな洞察: 部分順序の枠組みからこれらの結果を導出することにより、承認投票の文献でしばしば暗黙の前提とされる「Tops-Only」仮定に直接依存することなく、標準的およびサイズベースの承認投票規則に対する新しい独立した公理的特徴づけを提供している。
4. 領域の微妙さ: 結果は、特にこのより広い文脈における連続性公理の必要性という、部分順序を用いた投票の特定の微妙さを示している。これは線形順序の場合と区別される点である。

著者らは、Plurality および Anti-Plurality に焦点を当てたが、彼らの枠組みは、Borda、累積、段階的などの他の採点規則の同様の一般化を部分順序の領域へ開くことを結論付けている。