Stable determination of the first order perturbation of the biharmonic operator from partial data

技术摘要：从部分数据确定双调和算子一阶扰动的稳定性

问题陈述
本文研究了有界区域 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$（$n \ge 3$）内受扰的双调和算子的逆边界值问题，该区域具有光滑边界 $\partial\Omega$。该算子定义为 $L_{A,q} = \Delta^2 + A(x) \cdot D + q(x)$，其中 $D = i^{-1}\nabla$，$A$ 是 $W^{1,\infty}(\Omega, \mathbb{C}^n)$ 中的向量场，$q$ 是 $L^\infty(\Omega, \mathbb{C})$ 中的势函数。本研究聚焦于部分数据设定：即从仅在边界上任意小的开集 $\gamma_1, \gamma_2 \subset \partial\Omega$ 处进行的测量中恢复系数 $A$ 和 $q$。

该问题假设系数在边界的邻域 $\omega_0$ 内是先验已知的。数据由部分 Dirichlet-to-Neumann (DtN) 映射 $\Lambda_{\gamma_1, \gamma_2}^{A,q}$ 提供，该映射将支撑在 $\gamma_1$ 上的 Dirichlet 数据 $(f, g)$ 映射为在 $\gamma_2$ 上测得的正交导数 $(\partial_\nu u, \partial_\nu(\Delta u))$。主要目标是建立针对一阶扰动 $A$ 和零阶扰动 $q$ 的稳定性估计（量化测量误差如何影响系数的重建）。

方法论
作者采用了复几何光学 (CGO) 解的方法，这是椭圆算子逆问题中的一种标准技术。其证明策略包含几个关键的技术组成部分：

1. 构造 CGO 解： 作者构造了伴随方程和前向方程的解 $u_1$ 和 $u_2$，其形式为 $u(x) = e^{ix\cdot\zeta/h}(a(x) + r(x))$，其中 $\zeta$ 是满足 $\zeta \cdot \zeta = 0$ 的复向量，$h$ 是半经典参数，$r(x)$ 是当 $h \to 0$ 时趋于零的余项。
2. 积分恒等式与格林公式： 通过对两个算子的差应用格林公式，并利用部分 DtN 映射，作者推导出了一个将系数之差（$A_1 - A_2$ 以及 $q_1 - q_2$）与 DtN 映射之差联系起来的积分恒等式。
3. 局部定量唯一连续性： 本文的一项关键创新是推导了具有齐次边界条件的非齐次双调和方程解的局部定量唯一连续性估计。这是通过对半经典双调和算子 $h^4\Delta^2$ 使用 Carleman 估计实现的。这一步使得作者能够专门控制解在测量子集 $\gamma_2$ 上的范数，而非整个边界，这对于部分数据设定至关重要。
4. 向量场分解： 为了从外微分 $dA$中恢复向量场$A$（通过积分恒等式的傅里叶变换自然获得），作者利用了类似于 Helmholtz 的分解 $A = A_{sol} + \nabla \phi$。他们使用关于 $dA$的界限来估计无旋部分$A_{sol}$，并通过求解$\phi$ 的边界值问题并应用 Sobolev 嵌入和插值不等式来估计势部分 $\nabla \phi$。
5. 参数优化： 稳定性估计是通过优化半经典参数 $h$ 和傅里叶域中的频率截止频率 $\rho$，以平衡来自 CGO 余项的误差项与来自 Carleman 估计中的指数权重之间的关系而得到的。

主要贡献与结果
本文建立了对数型和双对数型稳定性估计，这类估计是病态逆问题的典型特征。

• 一阶扰动 ($A$) 的稳定性：
  定理 1.1 建立了向量场 $A$ 的对数型稳定性估计。具体而言，$A_1 - A_2$ 的 $L^\infty$ 范数被 DtN 差值的幂以及 DtN 差值的负幂对数函数所控制：
  $$\|A_1 - A_2\|_{L^\infty} \lesssim \|\Lambda_1 - \Lambda_2\|^{\mu_1} + |\log \|\Lambda_1 - \Lambda_2\||^{-\mu_2}$$
  这一结果通过提供定量稳定性界限，补充了先前的唯一性结果。

• 含有一阶项时零阶扰动 ($q$) 的稳定性：
  定理 1.2 建立了当存在一阶项 $A$ 时，势函数 $q$ 的对数-对数型 (log-log-type) 稳定性估计：
  $$\|q_1 - q_2\|_{H^{-1}} \lesssim |\log |\log \|\Lambda_1 - \Lambda_2\|||^{-\mu'}$$
  推论 1.3 在对 $q$ 有额外正则性假设的情况下将其扩展到 $L^\infty$ 估计。

• 无一阶项时零阶扰动 ($q$) 的稳定性：
  定理 1.4 表明，在不存在一阶扰动（$A=0$）的情况下，对于 $q$ 的稳定性从对数-对数型提升到了对数型：
  $$\|q_1 - q_2\|_{H^{-1}} \lesssim \|\Lambda_1 - \Lambda_2\|^{2/3} + |\log \|\Lambda_1 - \Lambda_2\||^{-2/(n+2)}$$
  这突显了双调和算子中一阶项所引入的具体难度。

意义与主张
作者声称，这项工作提供了利用部分数据对双调和算子一阶扰动进行研究的首个稳定性结果。虽然该问题的唯一性此前已有研究（引用 [42]），但稳定性分析要困难得多。

论文强调了两个主要的的技术创新点：

1. 局部唯一连续性： 利用 Carleman 估计推导了高阶椭圆算子（特别是双调和算子）的局部定量唯一连续性估计。作者指出，这是在特定的部分数据背景下，针对高阶算子的此类结果中的首个结果。
2. 处理部分数据： 能够使用边界上任意小的开集处的测量数据，而不是要求全边界数据或特定的几何配置（如平坦的不可达部分）。

作者将其结果定位为现有唯一性定理的补充，并作为向高阶逆问题稳定性分析迈进的一步，同时借鉴了用于薛定谔算子和磁性薛定谔算子的方法，并解决了双调和算子结构及其一阶扰动缺乏规范不变性所带来的独特挑战。