Stable determination of the first order perturbation of the biharmonic operator from partial data

Résumé Technique : Détermination stable de la perturbation du premier ordre de l'opérateur biharmonique à partir de données partielles

Énoncé du Problème
Cet article traite d'un problème de valeur aux limites inverse pour l'opérateur biharmonique perturbé dans un domaine borné $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ ($n \ge 3$) avec une frontière lisse $\partial\Omega$. L'opérateur est défini par $L_{A,q} = \Delta^2 + A(x) \cdot D + q(x)$, où $D = i^{-1}\nabla$, $A$ est un champ de vecteurs dans $W^{1,\infty}(\Omega, \mathbb{C}^n)$, et $q$ est un potentiel dans $L^\infty(\Omega, \mathbb{C})$. L'étude se concentre sur le cadre des données partielles : la récupération des coefficients $A$ et $q$ à partir de mesures effectuées uniquement sur de petits sous-ensembles ouverts $\gamma_1, \gamma_2 \subset \partial\Omega$.

Le problème suppose que les coefficients sont connus a priori dans un voisinage $\omega_0$ de la frontière. Les données sont fournies par une application de Dirichlet-à-Neumann (DtN) partielle $\Lambda_{\gamma_1, \gamma_2}^{A,q}$, qui associe des données de Dirichlet $(f, g)$ supportées sur $\gamma_1$ aux dérivées normales $(\partial_\nu u, \partial_\nu(\Delta u))$ mesurées sur $\gamma_2$. L'objectif principal est d'établir des estimations de stabilité (quantifiant comment les erreurs de mesure affectent la reconstruction des coefficients) pour la perturbation du premier ordre $A$ et la perturbation du zéro-ième ordre $q$.

Méthodologie
Les auteurs emploient la méthode des solutions de Géométrie Optique Complexe (CGO), une technique standard pour les problèmes inverses d'opérateurs elliptiques. La stratégie de preuve implique plusieurs composantes techniques clés :

1. Construction de solutions CGO : Les auteurs construisent des solutions $u_1$ et $u_2$ des équations adjointe et directe, respectivement, de la forme $u(x) = e^{ix\cdot\zeta/h}(a(x) + r(x))$, où $\zeta$ est un vecteur complexe satisfaisant $\zeta \cdot \zeta = 0$, $h$ est un paramètre semi-classique, et $r(x)$ est un terme de reste s'annulant quand $h \to 0$.
2. Identité Intégrale et Formule de Green : En appliquant la formule de Green à la différence de deux opérateurs et en utilisant l'application DtN partielle, les auteurs dérivent une identité intégrale reliant la différence des coefficients ($A_1 - A_2$ et $q_1 - q_2$) à la différence des applications DtN.
3. Unicité de Continuation Quantitative Locale : Une innovation cruciale de ce travail est la dérivation d'une estimation d'unicité de continuation quantitative locale pour les solutions de l'équation biharmonique non homogène avec conditions aux limites homogènes. Ceci est réalisé en utilisant des estimations de Carleman pour l'opérateur biharmonique semi-classique $h^4\Delta^2$. Cette étape permet aux auteurs de contrôler les normes des solutions spécifiquement sur le sous-ensemble de mesure $\gamma_2$ plutôt que sur l'ensemble de la frontière, ce qui est essentiel pour le cadre des données partielles.
4. Décomposition de Champs de Vecteurs : Pour récupérer le champ de vecteurs $A$ à partir de sa dérivée extérieure $dA$ (qui est naturellement obtenue via la transformée de Fourier de l'identité intégrale), les auteurs utilisent une décomposition de type Helmholtz $A = A_{sol} + \nabla \phi$. Ils estiment la partie solénoïdale $A_{sol}$ en utilisant la borne sur $dA$ et la partie potentielle $\nabla \phi$ en résolvant un problème de valeur aux limites pour $\phi$ et en appliquant les inégalités d'injection de Sobolev et d'interpolation.
5. Optimisation des Paramètres : Les estimations de stabilité sont dérivées en optimisant le paramètre semi-classique $h$ et la coupure de fréquence $\rho$ dans le domaine de Fourier, en équilibrant les termes d'erreur provenant des restes CGO et les poids exponentiels des estimations de Carleman.

Contributions Clés et Résultats
L'article établit des estimations de stabilité de type logarithmique et de type double-logarithmique, qui sont caractéristiques des problèmes inverses mal posés.

• Stabilité pour la Perturbation du Premier Ordre ($A$) :
  Le Théorème 1.1 établit une estimation de stabilité de type log pour le champ de vecteurs $A$. Plus précisément, la norme $L^\infty$ de la différence $A_1 - A_2$ est bornée par une somme d'une puissance de la différence DtN et d'une puissance négative du logarithme de la différence DtN :
  $$\|A_1 - A_2\|_{L^\infty} \lesssim \|\Lambda_1 - \Lambda_2\|^{\mu_1} + |\log \|\Lambda_1 - \Lambda_2\||^{-\mu_2}$$
  Ce résultat complète les résultats d'unicité précédents en fournissant une borne de stabilité quantitative.

• Stabilité pour la Perturbation du Zéro-ième Ordre ($q$) avec le Terme du Premier Ordre :
  Le Théorème 1.2 établit une estimation de stabilité de type log-log pour le potentiel $q$ lorsque le terme de premier ordre $A$ est présent :
  $$\|q_1 - q_2\|_{H^{-1}} \lesssim |\log |\log \|\Lambda_1 - \Lambda_2\|||^{-\mu'}$$
  Le Corollaire 1.3 étend cela à une estimation $L^\infty$ sous des hypothèses de régularité supplémentaires sur $q$.

• Stabilité pour la Perturbation du Zéro-ième Ordre ($q$) sans le Terme du Premier Ordre :
  Le Théorème 1.4 montre qu'en l'absence de la perturbation du premier ordre ($A=0$), la stabilité pour $q$ passe du type log-log au type log :
  $$\|q_1 - q_2\|_{H^{-1}} \lesssim \|\Lambda_1 - \Lambda_2\|^{2/3} + |\log \|\Lambda_1 - \Lambda_2\||^{-2/(n+2)}$$
  Cela souligne la difficulté spécifique introduite par le terme de premier ordre dans l'opérateur biharmonique.

Signification et Revendications
Les auteurs affirment que ce travail fournit les premiers résultats de stabilité pour la perturbation du premier ordre de l'opérateur biharmonique en utilisant des données partielles. Bien que l'unicité pour ce problème ait été établie précédemment (citant [42]), l'analyse de stabilité est nettement plus complexe.

L'article met l'accent sur deux nouveautés techniques majeures :

1. Unicité de Continuation Locale : La dérivation d'une estimation d'unicité de continuation quantitative locale pour les opérateurs elliptiques d'ordre supérieur (spécifiquement l'opérateur biharmonique) en utilisant des estimations de Carleman. Les auteurs notent qu'il s'agit du premier résultat de ce type pour les opérateurs d'ordre supérieur dans ce contexte spécifique de données partielles.
2. Gestion des Données Partielles : La capacité de dériver des estimations de stabilité en utilisant des mesures sur de petits sous-ensembles ouverts de la frontière, plutôt que d'exiger des données sur l'ensemble de la frontière ou des configurations géométriques spécifiques (comme des parties inaccessibles plates).

Les auteurs positionnent leurs résultats comme un complément aux théorèmes d'unicité existants et une avancée dans l'analyse de stabilité des problèmes inverses d'ordre supérieur, en établissant des parallèles avec les méthodes utilisées pour les opérateurs de Schrödinger et de Schrödinger magnétique tout en abordant les défis uniques posés par la structure de l'opérateur biharmonique et l'absence d'invariance de jauge pour sa perturbation du premier ordre.