Adiabatic definitions of scattering matrix and inclusive scattering matrix

技术摘要：散射矩阵与包含散射矩阵的绝热定义

问题陈述
本文在 L-泛函（L-functionals）的形式体系内，探讨了散射矩阵（S-矩阵）及包含散射矩阵（inclusive scattering matrix）的严格定义。该形式体系植根于量子理论的几何方法，将量子态表示为 Weyl 代数或 Clifford 代数上的非线性泛函（L-泛函），这些泛函对应于正则对易关系（CCR）或反对易关系（CAR）的所有不可约表示中的向量。一个主要挑战在于，如何在 L-泛函框架下，建立绝热 S-矩阵（通过缓慢变化的哈密顿量族导出）与重整化散射矩阵之间的关系，特别是在包含截面（inclusive cross-sections）的语境下。此外，本文研究了这些矩阵的经典极限（$\hbar \to 0$）及其与绝热量子计算的联系。

方法论
作者采用了 L-泛函的形式体系，其中量子态表示为正线性泛函 $L_K(\alpha^*, \alpha) = \text{Tr}(e^{-\alpha a^\dagger} e^{\alpha^* a} K)$，其作用于 Weyl 代数。该方法论通过以下关键步骤进行：

1. 形式体系设定： 本文在这一泛函框架内定义了演化算符和绝热 S-矩阵（$\hat{S}_a$）。它区分了标准算符形式（作用于 Fock 空间）与 L-泛函形式，在后者中，“哈密顿量”表现为作用在泛函空间上的微分算符。
2. 绝热极限与重整化： 作者分析了当绝热参数 $a \to 0$ 且体积 $\Omega \to \infty$ 时，绝热 S-矩阵的极限。研究表明，直接的绝热极限会产生一个未经过重整化的矩阵。为了获得重整化后的 S-矩阵，必须引入特定的相因子（绝热加衣/adiabatic dressing）。这些因子是通过绝热切换过程中基态和单粒子态的能量偏移推导出来的。
3. 格林函数与图解： 本文利用了广义格林函数（GGreen functions），它们是 L-泛函形式体系中格林函数的类比，并对应于非平衡统计物理中的 Keldysh 形式体系中的格林函数。文中开发了图解技术，其中传播子是物理上的二点 GGreen 函数，而顶点是一粒子不可约（1PI）图。
4. 包含散射矩阵： 包含散射矩阵 $S$ 被定义为 L-泛函空间中的一个算符。本文通过关系式 $S L_K = L_{\hat{S} K \hat{S}^\dagger}$ 建立了常规重整化 S-矩阵 $\hat{S}$ 与包含矩阵 $S$ 之间的映射。
5. 经典极限： 通过利用 Keldysh 基底（经典分量与量子分量）分析了包含散射矩阵在 $\hbar \to 0$ 时的行为，证明其受特定 GGreen 函数控制。

核心贡献与结果

• 重整化 S-矩阵的绝热定义： 本文提供了一个简化的证明，表明重整化散射矩阵 $\hat{S}$ 可以通过乘以考虑相位偏移的幺正算符 $\hat{U}_{a,\Omega}$ 来作为绝热 S-矩阵 $\hat{S}_{a,\Omega}$ 的极限得到：
  $$\hat{S} = \lim_{a \to 0} \lim_{\Omega \to \infty} \hat{U}_{a,\Omega} \hat{S}_{a,\Omega} \hat{U}_{a,\Omega} \langle \theta | \hat{S}_{a,\Omega} | \theta \rangle^{-1}$$
  此处，$\hat{U}_{a,\Omega}$ 涉及由相互作用单粒子能量与自由单粒子能量之差导出的相位因子 $r_{a,\Omega}(k)$。

• L-泛函中的包含散射矩阵： 本文直接在 L-泛函形式体系内定义了包含散射矩阵 $S$，而无需体积截断。本文证明了 $S$ 与常规重整化 S-矩阵 $\hat{S}$ 通过变换 $S L_K = L_{\hat{S} K \hat{S}^\dagger}$ 相关联。这一关系证明了“包含（inclusive）”一词的合理性，因为包含截面可以直接通过 $S$ 的矩阵元来表达。

• 通过截断 GGreen 函数的表达式： 一个核心结果是，包含散射矩阵可以利用在壳（on-shell）截断的 GGreen 函数来表示。这镜像了标准的 LSZ 归约公式，但在 L-泛函框架内进行了推导。本文推测，该表达式对于量子电动力学（QED）依然有效，因为在 L-泛函形式体系中，红外发散自然不存在。

• 与绝热量子计算的联系： 本文在通过绝热加衣（极限 $a \to 0$）构建定态的构造过程与绝热量子计算的原理之间建立了平行关系。它指出，利用简单哈密顿量获取复杂哈密顿量定态的技术，可以被视为绝热量子计算的推广，特别是当问题被简化为寻找平衡态时。

• 经典极限 ($\hbar \to 0$)： 本文展示了 L-泛函及包含散射矩阵的运动方程在 $\hbar \to 0$ 时具有确定的极限。在此极限下，动力学受 Keldysh 基底中的 GGreen 函数控制，特别是涉及“量子”分量（$\phi_{qu}$）的部分，该分量与 $\hbar$ 成正比。

重要性与主张
本文声称，相对于现有文献（特别是指向文献 [4] 和 [5] 的工作）中关于散射矩阵绝热定义的结论，本文提供了一个更简化的证明。通过利用 L-泛函形式体系，作者在定义散射矩阵时消除了对体积截断的需求，从而简化了证明过程并处理了发散问题（假设在所考虑的具体理论中，除了推测应用于 QED 的情况外，不存在红外和紫外发散）。

这项工作将包含散射矩阵不仅定位为计算截面的计算工具，而且将其视为量子理论几何方法中的一个基本对象。它架起了代数方法（L-泛函）、非平衡统计物理（Keldysh 形式体系）与绝热量子计算之间的桥梁。本文谦逊地将研究结果描述为对现有微扰技术的澄清与简化，提供了一个统一的框架，用于定义散射矩阵并分析其经典极限，且无需依赖于 CCR 代数的特定表示。