Adiabatic definitions of scattering matrix and inclusive scattering matrix

技術要約：散乱行列および包含的散乱行列のアディアバティック（断熱的）な定義

問題設定
本論文は、L-汎関数（L-functionals）の形式体系における、散乱行列（S行列）および包含的散乱行列（inclusive scattering matrix）の厳密な定義について扱う。幾何学的量子論に根ざしたこの形式体系では、状態はWeyl代数またはClifford代数上の非線形汎関数（L-汎関数）として表現され、これは正準交換関係（CCR）または反交換関係（CAR）のすべての既約表現におけるベクトルに対応する。主要な課題は、アディアバティックなS行列（緩やかに変化するハミルトニアン族から導出されるもの）と、繰り込み後の散乱行列との関係を、特に包含的断面積の文脈において確立することである。さらに、本論文はこれらの行列の古典極限（$\hbar \to 0$）およびアディアバティック量子コンピューティングとの関連性を調査している。

手法
著者は、量子状態がWeyl代数上の正のリニア汎関数 $L_K(\alpha^*, \alpha) = \text{Tr}(e^{-\alpha a^\dagger} e^{\alpha^* a} K)$ として表現されるL-汎関数の形式を用いている。その手法は、以下の主要なステップを通じて進行する：

1. 形式体系の設定： 論文では、この汎関数形式内での進化演算子およびアディアバティックS行列（$\hat{S}_a$）を定義する。ここでは、標準的な演算子形式（フォック空間上で作用するもの）と、ハミルトニアンが汎関数の空間上で微分演算子として作用するL-汎関数形式を区別している。
2. アディアバティック極限と繰り込み： 著者は、アディアバティック・パラメーター $a \to 0$ および体積 $\Omega \to \infty$ の極限におけるアディアバティックS行列を分析する。直接的なアディアバティック極限は、繰り込まれていない行列を与えることが示される。繰り込まれたS行列を得るために、特定の位相因子（アディアバティック・ドレッシング）を導入する。これらの因子は、アディアバティックなスイッチング過程における基底状態および一粒子状態のエネルギーシフトから導かれる。
3. グリーン関数と図式： 本論文は、L-汎関数形式におけるグリーン関数の類似物であり、非平衡統計物理学のKeldysh形式におけるグリーン関数に対応する、一般化されたGGreen関数を利用する。図式的技法が展開されており、そこではプロパゲーターは物理的な二点GGreen関数であり、頂点は一粒子既約（1PI）図となる。
4. 包含的散乱行列： 包含的散乱行列 $S$ は、L-汎関数の空間における演算子として定義される。本論文は、従来の繰り込まれたS行列 $\hat{S}$ と包含的行列 $S$ との間の関係 $S L_K = L_{\hat{S} K \hat{S}^\dagger}$ を通じたマッピングを確立する。
5. 古典極限： 包含的散乱行列の振る舞いは、Keldysh基底（古典成分および量子成分）を用いて $\hbar \to 0$ の極限において分析され、その極限が特定のGGreen関数によって支配されることが示される。

主要な貢献と結果

• 繰り込まれたS行列のアディアバティックな定義： 本論文は、繰り込まれた散乱行列 $\hat{S}$ が、位相シフトを考慮したユニタリ演算子 $\hat{U}_{a,\Omega}$ によって乗じられたアディアバティックS行列 $\hat{S}_{a,\Omega}$ の極限として得られることを示す簡潔な証明を提供している：
  $$\hat{S} = \lim_{a \to 0} \lim_{\Omega \to \infty} \hat{U}_{a,\Omega} \hat{S}_{a,\Omega} \hat{U}_{a,\Omega} \langle \theta | \hat{S}_{a,\Omega} | \theta \rangle^{-1}$$
  ここで、$\hat{U}_{a,\Omega}$ は、相互作用するエネルギーと自由な一粒子エネルギーの差から導かれる位相因子 $r_{a,\Omega}(k)$ を含む。

• L-汎関数における包含的散乱行列： 本論文は、体積カットオフを必要とせずに、L-汎関数形式内で直接、包含的散乱行列 $S$ を定義する。$S$ が関係式 $S L_K = L_{\hat{S} K \hat{S}^\dagger}$ を通じて従来の繰り込まれたS行列 $\hat{S}$ と関連していることを証明する。この関係は、「包含的（inclusive）」という用語が適切であることを正当化しており、包含的断面積は $S$ の行列要素を通じて直接表現できる。

• 切断されたGGreen関数による表現： 中心的な結果は、包含的散乱行列がオンシェルで切断された（amputated）GGreen関数を用いて表現できることの提示である。これは標準的なLSZ簡約公式を反映しているが、L-汎関数形式の枠組み内で導出されている。本論文は、この表現が、L-汎関数形式において赤外発散が自然に存在しないとされる量子電磁力学（QED）においても有効であると推測している。

• アディアバティック量子コンピューティングとの接続： 本論文は、アディアバティック・ドレッシング（極限 $a \to 0$）による定常状態の構成と、アディアバティック量子コンピューティングの原理との間に類似性を見出している。複雑なハミルトニアンから単純なものへとアディアバティックに状態を構築する手法は、問題を平衡状態の探索へと還元する場合、アディアバティック量子コンピューティングの一般化と見なせることを示唆している。

• 古典極限（$\hbar \to 0$）： 本論文は、L-汎関数の運動方程式および包含的散乱行列が $\hbar \to 0$ において明確な極限を持つことを示している。この極限において、ダイナミクスはKeldysh基底におけるGGreen関数、特に $\hbar$ に比例する「量子」成分（$\phi_{qu}$）を含むものによって支配される。

意義と主張
本論文は、既存の文献（具体的には[4]および[5]の著作）に見られる、散乱行列のアディアバティックな定義に関する主要な結果に対して、より簡潔な証明を提供することを主張している。L-汎関数形式を利用することで、散乱行列の定義における体積カットオフの必要性を排除し、証明を簡略化し、発散の処理を容易にしている（検討されている特定の理論において、赤外および紫外発散が存在しないと仮定した場合）。

本研究は、包含的散乱行列を単なる断面積のための計算ツールとしてではなく、幾何学的量子論における基礎的な対象として位置づけている。それは、代数的アプローチ（L-汎関数）、非平衡統計物理学（Keldysh形式）、およびアディアバティック量子コンピューティングの間の架け橋となるものである。著者は、自らの結果を、既存の摂動論的手法の明確化および簡略化として控えめに位置づけており、CCR代数の特定の表現に依存することなく、散乱行列を定義し、その古典極限を分析するための統一的な枠組みを提供している。