Tropical intersection homology

技术摘要：热带相交同调

问题陈述
本文旨在解决热带几何背景下，代数循环数值等价代数理论与几何上同调理论之间的鸿沟。经典地，对于光滑复完备环簇 $T_\Sigma$，其 Chow 群模去数值等价的商 $CH^p_{\text{Num}}(T_\Sigma) \otimes \mathbb{Q}$ 同构于奇异上同调 $H^{2p}_{\text{sing}}(T_\Sigma(\mathbb{C}); \mathbb{Q})$。此外，正如 Itenberg-Katzarkov-Mikhalkin-Zharkov (IKMZ) 所确立，该群还同构于热带上同调 $H^{p,p}_{\text{Trop}}(\text{Trop}(T_\Sigma); \mathbb{Q})$。

然而，对于嵌入环簇 $T_\Lambda$ 中的一般光滑完备簇 $Y$（特别是“热带紧”子簇），热带上同调 $H^{p,q}_{\text{Trop}}(\text{Trop}(Y); \mathbb{Q})$ 并不一定满足庞加莱对偶性。因此，从热带上同调到数值 Chow 群 $CH^p_{\text{Num}}(Y) \otimes \mathbb{Q}$ 的自然映射是满射，但不一定是同构。在热带设定下，奇异或非光滑簇庞加莱对偶性的失效，与奇异复簇在奇异上同调中庞加莱对偶性的失效相映成趣。本文旨在引入热带版本的相交同调，以恢复这种对偶性，并为合适的 $(Y, D)$ 对提供 $CH^p_{\text{Num}}(Y) \otimes \mathbb{Q}$ 的几何描述。

方法论
作者采用双重方法，既通过链（几何方式）又通过导出范畴（层论方式）定义热带相交同调，并证明二者的等价性。

1. 几何定义：

   • 本文通过在奇异链上施加“可容许性”条件，定义了热带簇 $X$（在无穷远处正则）上的热带相交链 $IC^{p,q}_{\text{Trop}}$。
   • 这些条件类似于 Goresky-MacPherson 相交同调中的条件。它们根据流形的余维数和链系数的“权重”，限制了链与奇异层（strata）的交集。
   • 所使用的系数源自 Gubler-Jell-Rabinoff 的新热带系数 $F^{p,w}$，其设计目的是在 1-余维层附近满足庞加莱 - 韦迪耶（Poincaré-Verdier）对偶性，而这是原始 IKMZ 系数所缺失的特征。
   • 该定义涉及基于扇（fan）局部几何的链复形滤过，具体利用了锥 $\sigma_S$ 和层 $S$ 的维数。

2. 层论构造：

   • 为了严格建立庞加莱 - 韦迪耶对偶性，本文在层的导出范畴中构造了热带相交复形。
   • 一项关键的技术创新是引入了局部分级层。作者通过关于"LG-拟同构”对分级层的导出范畴进行局部化，定义了导出范畴 $D_{\text{LG}}$。这种局部化是必要的，因为用于定义相交复形的截断函子涉及仅在层的开邻域上局部定义的滤过。
   • 热带相交复形 $\text{IC}^p_{\text{Trop,sheaf}}$ 是通过归纳构造的，即利用满足特定“公理”（局部消失和附着性质）的截断函子 $\tau_{p, S_k}$，将热带形式层从光滑部分 $X_{\text{sm}}$ 扩展到奇异轨迹，这类似于 Deligne 对相交复形的构造。

3. 比较与对偶：

   • 本文证明了几何定义和层论定义产生了同构的同调群。
   • 它建立了热带相交同调的庞加莱 - 韦迪耶对偶定理：在 $I H^{p,q}_{\text{Trop}}(X)$ 和 $I H^{d-p, d-q}_{\text{Trop}, c}(X)$ 之间存在非退化配对。
   • 作者利用谱序列，将热带相交同调与热带上同调及（通过热带化映射）奇异上同调进行比较，以分析这些群的结构。

主要贡献与结果

• 热带相交同调的定义： 本文引入了在无穷远处正则的热带簇 $X$ 上的 $I H^{p,q}_{\text{Trop}}(X; \mathbb{Q})$。当庞加莱对偶性成立时（例如，对于光滑热带簇），该理论与标准热带上同调一致，但为奇异情形提供了更精细的理论。
• 庞加莱对偶性的恢复： 定理 1.2 确立了热带相交同调的非退化配对，将光滑热带簇已知的对偶性推广到奇异情形。
• 与数值等价的同构： 核心结果（定理 1.2，推论 7.3）指出，对于在光滑环簇 $T_\Lambda$ 中热带紧的光滑完备簇 $Y$（满足特定的不可约性和满射条件），存在自然同构：
  $$I H^{p,q}_{\text{Trop}}(\text{Trop}(Y); \mathbb{Q}) \cong \begin{cases} CH^p_{\text{Num}}(Y) \otimes \mathbb{Q} & \text{若 } p=q \\ 0 & \text{若 } p \neq q \end{cases}$$
  在此同构下，相交同调上的配对对应于代数循环的相交数。
• 多面体结构的独立性： 本文证明了热带相交同调独立于热带簇的具体多面体分解（细分），前提是簇在无穷远处保持正则。
• 技术框架： 局部分级层理论及其相关导出范畴的发展，为处理热带相交同调中固有的从局部到全局的问题提供了稳健的层论框架。

意义
本文声称通过热带化，将数值等价的几何描述从环簇推广到更广泛的一类光滑完备簇。通过引入热带相交同调，作者在热带设定下架起了数值等价这一代数概念与上同调这一拓扑概念之间的桥梁，特别是解决了标准热带上同调在奇异簇中庞加莱对偶性失效的问题。这提供了一个热带类比，对应于经典结果：奇异复簇的相交同调恢复了与底层代数结构相关的正确上同调不变量。这项工作表明，热带相交同调是捕捉 admits 热带紧化簇上循环数值等价类的正确上同调理论。