Tropical intersection homology

Résumé technique : Homologie d'intersection tropicale

Énoncé du problème
L'article comble le fossé entre la théorie algébrique de l'équivalence numérique des cycles algébriques et les théories de cohomologie géométrique dans le contexte de la géométrie tropicale. Classiquement, pour les variétés toriques propres lisses complexes $T_\Sigma$, le quotient du groupe de Chow par l'équivalence numérique, $CH^p_{\text{Num}}(T_\Sigma) \otimes \mathbb{Q}$, est isomorphe à la cohomologie singulière $H^{2p}_{\text{sing}}(T_\Sigma(\mathbb{C}); \mathbb{Q})$. De plus, cela est isomorphe à la cohomologie tropicale $H^{p,p}_{\text{Trop}}(\text{Trop}(T_\Sigma); \mathbb{Q})$, comme établi par Itenberg-Katzarkov-Mikhalkin-Zharkov (IKMZ).

Cependant, pour une variété propre lisse générale $Y$ plongée dans une variété torique $T_\Lambda$ (spécifiquement une sous-variété « tropicalement compacte »), la cohomologie tropicale $H^{p,q}_{\text{Trop}}(\text{Trop}(Y); \mathbb{Q})$ ne satisfait pas nécessairement la dualité de Poincaré. Par conséquent, l'application naturelle de la cohomologie tropicale vers le groupe de Chow numérique $CH^p_{\text{Num}}(Y) \otimes \mathbb{Q}$ est surjective mais pas nécessairement un isomorphisme. L'échec de la dualité de Poincaré dans le cadre tropical pour les variétés singulières ou non lisses reflète l'échec de la dualité de Poincaré en cohomologie singulière pour les variétés complexes singulières. L'article vise à introduire un analogue tropical de l'homologie d'intersection afin de restaurer cette dualité et de fournir une description géométrique de $CH^p_{\text{Num}}(Y) \otimes \mathbb{Q}$ pour des couples $(Y, D)$ appropriés.

Méthodologie
L'auteur adopte une approche duale, définissant l'homologie d'intersection tropicale à la fois géométriquement (via des chaînes) et théoriquement des faisceaux (via les catégories dérivées), et prouvant leur équivalence.

1. Définition géométrique :

   • L'article définit les chaînes d'intersection tropicales $IC^{p,q}_{\text{Trop}}$ sur une variété tropicale $X$ (régulière à l'infini) en imposant des conditions de « faisabilité » sur les chaînes singulières.
   • Ces conditions sont analogues à celles de l'homologie d'intersection de Goresky-MacPherson. Elles restreignent l'intersection des chaînes avec les strates singulières en fonction de la codimension de la strate et du « poids » des coefficients de la chaîne.
   • Les coefficients utilisés sont dérivés des nouveaux coefficients tropicaux $F^{p,w}$ de Gubler-Jell-Rabinoff, conçus pour satisfaire la dualité de Poincaré-Verdier près des strates de codimension 1, une caractéristique absente des coefficients IKMZ originaux.
   • La définition implique des filtrations sur les complexes de chaînes basées sur la géométrie locale du éventail, utilisant spécifiquement les dimensions des cônes $\sigma_S$ et des strates $S$.

2. Construction théorique des faisceaux :

   • Pour établir rigoureusement la dualité de Poincaré-Verdier, l'article construit le complexe d'intersection tropical dans la catégorie dérivée des faisceaux.
   • Une innovation technique clé est l'introduction de faisceaux localement gradués. L'auteur définit une catégorie dérivée $D_{\text{LG}}$ en localisant la catégorie dérivée des faisceaux gradués par rapport aux « quasi-isomorphismes LG ». Cette localisation est nécessaire car les foncteurs de troncature utilisés pour définir le complexe d'intersection impliquent des filtrations qui ne sont définies que localement sur des voisinages ouverts des strates.
   • Le complexe d'intersection tropical $\text{IC}^p_{\text{Trop,sheaf}}$ est construit de manière inductive en étendant le faisceau des formes tropicales de la partie lisse $X_{\text{sm}}$ au lieu singulier en utilisant des foncteurs de troncature $\tau_{p, S_k}$ satisfaisant des « axiomes » spécifiques (annulation locale et propriétés d'attachement) analogues à la construction de Deligne du complexe d'intersection.

3. Comparaison et dualité :

   • L'article prouve que les définitions géométrique et théorique des faisceaux donnent des groupes d'homologie isomorphes.
   • Il établit un théorème de dualité de Poincaré-Verdier pour l'homologie d'intersection tropicale : un couplage non dégénéré entre $I H^{p,q}_{\text{Trop}}(X)$ et $I H^{d-p, d-q}_{\text{Trop}, c}(X)$.
   • L'auteur utilise des suites spectrales comparant l'homologie d'intersection tropicale à la cohomologie tropicale et à la cohomologie singulière (via l'application de tropicalisation) pour analyser la structure de ces groupes.

Contributions et résultats clés

• Définition de l'homologie d'intersection tropicale : L'article introduit $I H^{p,q}_{\text{Trop}}(X; \mathbb{Q})$ pour les variétés tropicales $X$ régulières à l'infini. Cette théorie coïncide avec la cohomologie tropicale standard lorsque la dualité de Poincaré vaut (par exemple, pour les variétés tropicales lisses) mais fournit une théorie affinée pour les cas singuliers.
• Restauration de la dualité de Poincaré : Le théorème 1.2 établit un couplage non dégénéré pour l'homologie d'intersection tropicale, généralisant la dualité connue pour les variétés tropicales lisses au cadre singulier.
• Isomorphisme avec l'équivalence numérique : Le résultat central (Théorème 1.2, Corollaire 7.3) énonce que pour une variété propre lisse $Y$ tropicalement compacte dans une variété torique lisse $T_\Lambda$ (satisfaisant des conditions spécifiques d'irréductibilité et de surjectivité), il existe un isomorphisme naturel :
  $$I H^{p,q}_{\text{Trop}}(\text{Trop}(Y); \mathbb{Q}) \cong \begin{cases} CH^p_{\text{Num}}(Y) \otimes \mathbb{Q} & \text{si } p=q \\ 0 & \text{si } p \neq q \end{cases}$$
  Sous cet isomorphisme, le couplage sur l'homologie d'intersection correspond aux nombres d'intersection des cycles algébriques.
• Indépendance de la structure polyédrale : L'article prouve que l'homologie d'intersection tropicale est indépendante de la décomposition polyédrale spécifique (subdivision) de la variété tropicale, à condition que la variété reste régulière à l'infini.
• Cadre technique : Le développement de la théorie des faisceaux localement gradués et des catégories dérivées associées fournit un cadre théorique des faisceaux robuste pour traiter les problèmes locaux-vers-globaux inhérents à l'homologie d'intersection tropicale.

Signification
L'article prétend généraliser la description géométrique de l'équivalence numérique des variétés toriques à une classe plus large de variétés propres lisses via la tropicalisation. En introduisant l'homologie d'intersection tropicale, l'auteur comble le fossé entre la notion algébrique d'équivalence numérique et la notion topologique de cohomologie dans le cadre tropical, en traitant spécifiquement l'échec de la dualité de Poincaré dans la cohomologie tropicale standard pour les variétés singulières. Cela fournit un analogue tropical au résultat classique selon lequel l'homologie d'intersection d'une variété complexe singulière récupère les invariants cohomologiques corrects liés à la structure algébrique sous-jacente. Ce travail suggère que l'homologie d'intersection tropicale est la théorie cohomologique correcte pour capturer les classes d'équivalence numérique des cycles sur les variétés admettant une compactification tropicale.