Removable singularities for nonlocal minimal graphs

技术摘要：非局部极小图的移除奇异性

问题陈述
本文研究了非局部极小图的移除奇异性问题。具体而言，本文探讨了定义在开集 $\Omega \setminus K$ 上的非局部极小曲面方程（以及更广泛的一类非局部方程）的解，是否可以扩展到整个定义域 $\Omega$ 上。其中 $K$ 是一个 $(s, 1)$-容量为零的紧集。

本研究受到经典极小曲面理论的启发，在经典理论中，Bers、Nitsche 以及 De Giorgi–Stampacchia 已经确立了 $(n-1)$ 维豪斯多夫测度为零（或 1-容量为零）的奇异性对于极小曲面方程是可移除的。作者试图将这些结果推广到非局部情形，其中控制方程涉及非局部平均曲率 $H_s$，或者更广义的如下形式的非局部算子：
$$-\int_{\mathbb{R}^n} A\left(x, y, \frac{u(x)-u(y)}{|x-y|}\right) \frac{dy}{|x-y|^{n+s}} = B(x, u)$$
这里，$s \in (0, 1)$，且 $A$ 和 $B$ 满足特定的结构条件（单调性、有界性和增长约束）。

方法论
主定理的证明过程分为三个截然不同的步骤，旨在将局部理论（特别是 Serrin 的方法）适配到非局部框架中，同时解决非局部性带来的挑战。

1. 在可积性假设下的正则性：
   第一步确立了如果解 $u$ 在靠近奇异集 $K$ 时已知具有某种程度的局部可积性（具体为 $u \in L^\varepsilon_{\text{loc}}(\Omega)$，对于某个 $\varepsilon > 0$），那么 $u$ 将达到 $W^{s,1}_{\text{loc}}(\Omega)$ 正则性。

   • 技术： 作者采用了涉及解的“双截断”（$\bar{u}$ 和 $u$）的 Caccioppoli 型估计。这些估计是通过利用通过平滑化构造的测试函数以及一系列在接近 $K$ 时趋于 0 但几乎处处收敛到 1 的截断函数 $\bar{\eta}_j$ 推导出来的。
   • 工具： 证明利用了分数阶 Sobolev 不等式和 Moser 迭代技术，将 $u$ 的可积性从 $L^\varepsilon$ 提高到 $L^\infty_{\text{loc}}$，这随后确保了 $W^{s,1}_{\text{loc}}$ 正则性。

2. 验证可积性：
   第二步证明了第一步中所要求的额外可积性假设对于任何定义在 $\Omega \setminus K$ 上的解都是自动满足的。

   • 挑战： 经典的技巧（例如使用超过边界最大值的 Serrin 双截断法）在非局部情形下会失效，因为非局部问题的“边界”值取决于函数在整个定义域补集上的行为，而该补集可能是无界的。
   • 解决方案： 作者引入了一种局部化技术。通过利用方程的具体结构（对应于分数阶 $p$-Laplacian 型方程中 $p=1$ 的情况），该方法避免了对补集上有限上确界的需求。相反，它利用了方程涉及一种形式的“加权 $L^0$-范数”（一个常数项）这一事实，从而利用双截断法适配了 Serrin 的证明。这一步关键性地依赖于 $K$ 的紧致性。

3. 解的扩展：
   最后一步使用标准的逼近论证来表明扩展后的函数在整个定义域 $\Omega$ 上满足方程的弱形式。

   • 技术： 使用了一系列测试函数 $\phi_j = \phi \bar{\eta}_j$，其中 $\bar{\eta}_j$ 在接近 $K$ 时趋于 0。作者证明了当 $j \to \infty$ 时，非局部积分项和低阶项都会收敛到所需的极限，这利用了集合具有 $(s, 1)$-容量为零的性质以及控制收敛定理。

主要贡献与结果

• 主定理 (Theorem 1.4)： 本文证明了，如果 $K \subset \Omega$ 是一个 $(s, 1)$-容量为零的紧集，那么任何在 $\Omega \setminus K$ 中的一般非局部方程 (1.3) 的解，都存在一个在整个 $\Omega$ 上均为解的代表元。
• 在非局部极小图中的应用： 作为直接推论，本文确定了定义在 $\Omega \setminus K$（其中 $K$ 的 $(s, 1)$-容量为零）中的任何非局部极小图确实是 $\Omega$ 中的非局部极小图。
• 方程类的推广： 该结果不仅限于特定的非局部极小曲面方程，还扩展到了包括右侧项 $B(x, u)$ 满足特定增长条件（例如毛细管作用型方程）在内的广泛的一类方程。
• 解概念的区别： 本文仔细区分了“弱解”（满足积分形式的可测函数）与“解”（同样属于 $W^{s,1}_{\text{loc}}$ 的弱解）。主定理适用于后者，而另一个单独的结果（Theorem 5.1）则在对低阶项 $B$ 有更强假设的情况下讨论了弱解。

意义与主张
作者声称，这项工作提供了第一个关于非局部极小图及一类广泛非局部方程的移除奇异性定理。一个显著的特征是，不同于非局部非线性 $p$-Laplacian 型方程（$p > 1$）的移除奇异性定理，针对 $p=1$ 情况（包括非局部极小图）的定理不需要对解 $u$ 在奇异集 $K$ 附近的行为做出先验假设。

论文指出，虽然非局部极小图的正则性理论意味着解是 $C^\infty$ 的，但对于更一般的方程 (1.3) 的正则性理论尚未完全建立。因此，本文并不声称对于一般情况下的扩展解必然是连续或光滑的，而仅声称其是定义意义下的有效解。

此外，文中提到，当奇异集 $K$ 趋向于 $\Omega$ 的边界时的情况仍是一个开放性问题，尽管论文在 Theorem 5.1 中提供了一个部分结果，即在对低阶项满足特定条件下，当集合 $E$ 是相对闭集时（允许其趋向边界），结论依然成立。