Removable singularities for nonlocal minimal graphs

技術的要約：非局所的極小グラフにおける除去可能な特異点

問題設定
本論文は、非局所的極小グラフにおける除去可能な特異点の問題に取り組んでいる。具体的には、開集合 $\Omega \setminus K$（ここで $K$ は $(s, 1)$-容量がゼロであるコンパクト集合）上で定義された非局所的極小曲面方程式（およびより広範な非局所的方程式のクラス）の解が、ドメイン $\Omega$ 全体で解へと拡張できるかどうかを調査している。

この研究は、極小曲面の古典的な理論（Bers、Nitsche、および De Giorgi–Stampacchia が、$(n-1)$ 次元のハウスドルフ測度ゼロ（または $1$-容量ゼロ）の特異点は、極小曲面方程式の解に対して除去可能であることを確立したこと）によって動機付けられている。著者は、これらの結果を非局所的な設定へと一般化することを目指している。ここでの支配方程式は、非局所的な平均曲率$H_s$、あるいはより一般的には、以下の形式の非局所演算子を含む：
$$-\int_{\mathbb{R}^n} A\left(x, y, \frac{u(x)-u(y)}{|x-y|}\right) \frac{dy}{|x-y|^{n+s}} = B(x, u)$$
ここで、$s \in (0, 1)$ であり、$A$ および $B$ は特定の構造条件（単調性、有界性、および成長制約）を満たす。

手法
主定理の証明は、局所的な理論（特に Serrin の手法）を非局所的な枠組みに適応させつつ、非局所性に起因する課題に対処しながら、3つの明確なステップで行われる。

1. 積分可能性の仮定下での正則性：
   第1ステップでは、解 $u$ が既に特定のレベルの局所的な可積分性（具体的には、特異集合 $K$ の近傍において $u \in L^\varepsilon_{\text{loc}}(\Omega)$ であること）を有していることが既知である場合、$u$ が $W^{s,1}_{\text{loc}}(\Omega)$ の正則性を達成することを確立する。

• 手法： 著者は、解の「二重切断（double truncations）」（$\bar{u}$ および $u$）を用いた Caccioppoli 型の評価を用いる。これらの評価は、平滑化によって構成されたテスト関数と、$K$ の近傍で消滅するが、ほとんど至る所で 1 に収束する一連のカットオフ関数 $\bar{\eta}_j$ を用いて導出される。
• 道具： 証明には、分数次 Sobolev 不等式と Moser の反復法（Moser iteration）を用いて、$u$ の可積分性を $L^\varepsilon$ から $L^\infty_{\text{loc}}$ へと改善し、それが結果として $W^{s,1}_{\text{loc}}$ の正則性を保証することを利用する。

2. 積分可能性の検証：
   第2ステップでは、第1ステップで必要とされる追加の積分可能性の仮定が、$\Omega \setminus K$ 上で定義された任意の解によって自動的に満たされることを証明する。

• 課題： 古典的な手法（例：境界の最大値を超えるレベルを用いた Serrin の二重切断）は、非局所的な設定では失敗する。なぜなら、非局所的な問題の「境界」値は、ドメインの補集合全体における関数の振る舞いに依存し、その補集合が非有界である可能性があるからである。
• 解決策： 著者は局所化の手法を導入する。方程式の特定の構造（分数次 $p$-Laplacian 型方程式における $p=1$ のケースに対応）を利用することで、この手法は補集合上での有限な上限を必要とせずに、二重切断を用いた Serrin の証明を適応させる。このステップは、方程式が（定数項としての）一種の「重み付き $L^0$ ノルム」を含むという事実に決定的に依存しており、これによって $K$ のコンパクト性を活用している。

3. 解の拡張：
   最終ステップでは、標準的な近似議論を用いて、拡張された関数がドメイン全体 $\Omega$ において方程式の弱形式を満たすことを示す。

• 手法： $K$ の近傍で消滅する $\phi_j = \phi \bar{\eta}_j$ という一連のテスト関数を用いる。著者は、$(s, 1)$-容量ゼロの集合の測度ゼロの性質と、ルベーグの収束定理を利用して、非局所的な積分項および低次項が $j \to \infty$ のとき、要求される極限へと収束することを実証する。

主要な貢献と結果

• 主定理 (Theorem 1.4)： 本論文は、もし $K \subset \Omega$ が $(s, 1)$-容量ゼロのコンパクト集合であるならば、$\Omega \setminus K$ 上の一般の方程式 (1.3) の任意の解は、$\Omega$ 全体における解となる代表元を持つことを証明している。
• 非局所的極小グラフへの適用： 直接的な系として、本論文は、$\Omega \setminus K$（ここで $K$ は $(s, 1)$-容量ゼロ）で定義された任意の非局所的極小グラフが、実際に $\Omega$ における非局所的極小グラフであることを確立している。
• 方程式クラスの一般化： この結果は、特定の非局所的平均曲率を持つ方程式（キャピラリティ型方程式のような、右辺 $B(x, u)$ が特定の成長条件を満たすケースを含む）の広範なクラスへと拡張されている。
• 解の概念の区別： 本論文は、「弱解」（積分形式を満たす可測関数）と「解」（$W^{s,1}_{\text{loc}}$ に属する弱解）を注意深く区別している。主定理は後者に適用されるが、低次項 $B$ に関するより強い仮定の下での弱解については、別の結果（Theorem 5.1）が扱っている。

意義と主張
著者は、本研究が、非局所的極小グラフおよび広範なクラスの非局所的方程式に対する最初の除去可能な特異点定理を提供すると主張している。注目すべき特徴は、非局所的な非線形 $p$-Laplacian 型方程式（$p > 1$）の除去可能な特異点定理とは異なり、$p=1$ のケース（非局所的極小グラフを含む）の定理は、特異集合 $K$ の近傍における解 $u$ の振る舞いに関する事前の仮定を一切必要としないことである。

本論文は、非局所的極小グラフの正則性理論が解が $C^\infty$ であることを示唆している一方で、より一般的な方程式 (1.3) の正則性理論はまだ完全には確立されていないことを認めている。したがって、本論文は、一般の場合において拡張された解が必ずしも連続または滑らかであることを主張するものではなく、定義された意味における有効な解であることのみを主張している。

また、特異集合 $K$ が $\Omega$ の境界に接近する場合については未解決の問題として残っているが、本論文は、低次項に関する特定の条件下で、集合 $E$ が相対的に閉である（境界に接近することを許容する）場合の弱解に関する部分的な結果を Theorem 5.1 で提供している。