Bayesian Kernel Machine Regression via Random Fourier Features for Estimating Joint Health Effects of Multiple Exposures

技术摘要：基于随机傅里叶特征的贝叶斯核机器回归，用于估计多重暴露的联合健康效应

问题陈述
环境流行病学传统上侧重于单暴露分析，然而人类同时暴露于多种相关的风险因素中。贝叶斯核机器回归（BKMR）是一种广泛使用的方法，通过将暴露-响应曲面建模为高斯过程的一个实现，来估计多个暴露的联合、非线性效应。然而，当应用于大型数据集时，BKMR 面临显著的计算瓶颈。该方法需要在马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）迭代过程中重复进行 $n \times n$ 核矩阵的求逆，其中 $n$ 是样本量。这使得 BKMR 在处理大型行政健康数据库（例如 $n > 5,000$）时在计算上变得不可行。虽然现有的近似方法（如使用结点的预测过程）已经存在，但它们面临着诸如过度平滑以及在多变量设置下缺乏明确的结点选择指导等挑战。

方法论：快速 BKMR (Fast BKMR)
作者提出了“快速 BKMR”，该方法利用监督式随机傅里叶特征（RFF）取代了 BKMR 中的高斯过程随机效应。这种方法利用了博赫纳定理（Bochner's theorem），该定理指出任何正定、平稳核都可以表示为其谱密度的傅里叶变换。

关键方法组成部分包括：

• 基函数展开： 随机效应函数 $h(x_i)$ 被近似为一组有限的基函数：
  $$h(x_i) \approx \sum_{j=1}^{J} a_j \cos(\omega_j^T x_i) + b_j \sin(\omega_j^T x_i)$$
  其中 $\omega_j$ 是从谱密度中采样的频率，$a_j, b_j$ 是随机效应系数。
• 监督学习： 与标准的与数据无关的 RFF 不同，该方法将频率 $\omega_j$ 视为需要从数据中学习的随机变量。这使得基函数能够自适应于特定的暴露-响应曲面。
• 模型重构： 通过使用 RFF，核机器回归被重构为一个线性混合效应模型。这消除了对 $n \times n$ 核矩阵求逆的需求，显著降低了计算复杂度。
• 推断： 使用带有哈密顿蒙特卡洛（HMC）算法的 MCMC 进行贝叶斯推断。频率 $\omega_j$ 和系数 $(\gamma, a_j, b_j)$ 以分块方式进行更新。基函数数量 ($J$) 使用 Watanabe-Akaike 信息准则（WAIC）进行选择。

主要贡献与结果
作者通过模拟研究和实际应用评估了 Fast BKMR，并将其与标准 BKMR 以及带有预测过程（PP）的 BKMR 进行对比。

1. 计算效率： Fast BKMR 展示了显著的计算时间缩减。在 $N=10,000$ 且有 10 个暴露量的模拟实验中，带有 PP 的标准 BKMR 拟合模型大约需要 6.6 天，而 Fast BKMR（在 $J=1,000$ 时）仅需约 1 天。对于较小的基函数集（例如 $J=5$），时间的缩减更为剧烈（最高达 99% 的降幅）。Fast BKMR 的计算时间随样本量和基函数数量几乎呈线性增长，而带有 PP 的 BKMR 随样本量和暴露数量增加而表现出的扩展性较差。
2. 估计精度：
   • 强相关性： 当暴露-响应曲面表现出强相关性时（这在空气污染数据中很常见），即使使用较少的基函数，Fast BKMR 的表现也优于带有 PP 的 BKMR。
   • 核函数误设： 在假设的高斯核与真实核不同的场景下，Fast BKMR 保持了稳健的表现，尤其是在暴露数量较多时，通常能获得比带有 PP 的 BK可 BKMR 更低的均方根误差（RMSE）。
   • 参数化场景： 当真实的暴露-响应函数是参数化（非高斯）时，随着基函数数量的增加，Fast BKMR 达到了与标准 BKMR 相当的性能，同时保持了卓越的速度。
3. 在出生体重数据中的应用： 该方法被应用于包含 273,711 条乔治亚州出生记录的数据集，以分析一氧化碳（CO）、二氧化氮（NO$_2$）和细颗粒物（PM$_{2.5}$）对出生体重的联合效应。Fast BKMR 成功捕捉了复杂的非线性联合效应，并提供了比带有交互项的多污染物线性模型更窄的后验区间。分析证实，NO$_2$ 和 PM$_{2.5}$ 水平的升高与出生体重降低相关，而 CO 的关联呈正向但不具有统计学显著性。

意义与主张
作者声称 Fast BKMR 解决了 BKMR 的关键可扩展性问题，使得分析此前难以处理的大型行政健康数据库成为可能。该方法提供了一种计算高效的替代方案，且不会牺牲建模非线性联合效应和交互作用的灵活性。

论文强调了以下具体优势：

• 可扩展性： 它促进了对数万条观测值及多种暴露量的分析。
• 稳健性： 即使在暴露-响应曲面具有强依赖性或核函数误设的情况下，它也能表现良好。
• 数值稳定性： 通过避免核矩阵求逆，该方法规避了在高相关暴露（例如，居住在同一人口普查区且共享相同暴露数据的个体）情况下高斯过程回归中出现的数值奇异问题。
• 灵活性： 监督式 RFF 使基函数能够适应数据，这相对于确定性的卡鲁嫩-洛夫展开（Karhunen–Loève expansion）具有优势。

作者也指出了局限性，包括该方法仍然比非贝叶斯替代方法（如 WQS 或 q-gcomp）更耗时，且目前仅适用于连续型结局变量。他们建议未来的工作可以探索通过尖峰-浆果先验（spike-and-slab priors）进行变量选择，以及向针对二分类或计数结局的广义线性模型的扩展。