Bayesian Kernel Machine Regression via Random Fourier Features for Estimating Joint Health Effects of Multiple Exposures

Technische Samenvatting: Bayesiaanse Kernel Machine Regressie via Random Fourier Features voor het Schatten van Gezamenlijke Gezondeheidseffecten van Meerdere Blootstellingen

Probleemstelling
De milieu-epidemiologie heeft zich traditioneel gericht op enkelvoudige blootstellingsanalyses, maar mensen worden gelijktijdig blootgesteld aan meerdere gecorreleerde risicofactoren. Bayesian Kernel Machine Regression (BKMR) is een veelgebruikte methode voor het schatten van de gezamenlijke, niet-lineaire effecten van meerdere blootstellingen door de blootstellings-respons-oppervlakte te modelleren als een realisatie van een Gaussisch proces. BKMR kampt echter met aanzienlijke computationele knelpunten wanneer het wordt toegepast op grote datasets. De methode vereist herhaalde inversie van een $n \times n$ kernelmatrix tijdens Markov Chain Monte Carlo (MCMC) iteraties, waarbij $n$ de steekproefomvang is. Dit maakt BKMR computationeel onhaalbaar voor grote administratieve gezondheidsdatabases (bijv. $n > 5.000$). Bestaande benaderingen zoals het predictieve proces (met knopen) bestaan wel, maar kampen met uitdagingen zoals overmatige smoothing (oversmoothing) en een gebrek aan duidelijke richtlijnen voor knoopselectie in multivariate settings.

Methodologie: Fast BKMR
De auteurs stellen "Fast BKMR" voor, een methode die de Gaussische proces random effecten in BKMR vervangt door gesuperviseerde Random Fourier Features (RFF). Deze benadering maakt gebruik van de stelling van Bochner, die stelt dat elke positief-definiete, stationaire kernel kan worden uitgedrukt als de Fourier-transformatie van zijn spectrale dichtheid.

Belangrijke methodologische componenten zijn:

• Basisexpansie: De random effect functie $h(x_i)$ wordt benaderd door een eindige verzameling basisfuncties:
  $$h(x_i) \approx \sum_{j=1}^{J} a_j \cos(\omega_j^T x_i) + b_j \sin(\omega_j^T x_i)$$
  waarbij $\omega_j$ frequenties zijn gesampled uit een spectrale dichtheid, en $a_j, b_j$ de random-effect coëfficiënten zijn.
• Gesuperviseerd Leren: In tegen tegenover de standaard data-onafhankelijke RFF, behandelt deze methode de frequenties $\omega_j$ als random variabelen die uit de data geleerd moeten worden. Dit stelt de basisfuncties in staat om adaptief te zijn aan de specifieke blootstellings-respons-oppervlakte.
• Modelherformulering: Door RFF te gebruiken, wordt de kernel machine regressie geherformuleerd als een lineair gemengd effect model. Dit elimineert de noodzaak om de $n \times n$ kernelmatrix te inverteren, wat de computationele complexiteit aanzienlijk vermindert.
• Inferentie: Bayesiaanse inferentie wordt uitgevoerd met behulp van MCMC met Hamiltonian Monte Carlo (HMC) algoritmen. De frequenties $\omega_j$ en de coëfficiënten $(\gamma, a_j, b_j)$ worden in blokken bijgewerkt. Het aantal basisfuncties ($J$) wordt geselecteerd met behulp van het Watanabe-Akaike Informatie Criterium (WAIC).

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten
De paper evalueert Fast BKMR via simulatiestudies en een praktische toepassing, waarbij het wordt vergeleken met standaard BKMR en BKMR met een predictief proces (PP).

1. Computationele Efficiëntie: Fast BKMR vertoont substantiële reducties in rekentijd. In simulaties met $N=10.000$ en 10 blootstellingen duurde het fitten van een model met standaard BKMR met PP ongeveer 6,6 dagen, terwijl Fast BKMR slechts ongeveer 1 dag vereiste (met $J=1.000$). Voor kleinere basissets (bijv. $J=5$) was de reductie in tijd nog dramatischer (tot 99% reductie). De rekentijd voor Fast BKMR schaalt bijna lineair met de steekproefomvang en het aantal basisfuncties, terwijl BKMR met PP slecht schaalt met zowel de steekproefomvang als het aantal blootstellingen.
2. Schatting nauwkeurigheid:
   • Sterke Correlatie: Wanneer het blootstellings-respons-oppervlak sterke correlaties vertoont (gangbaar in luchtvervuilingsdata), presteert Fast BKMR beter dan BKMR met PP, zelfs met een klein aantal basisfuncties.
   • Kernel Misspecificatie: In scenario's waar de ware kernel verschilt van de veronderstelde Gaussische kernel, behoudt Fast BKMR een robuuste prestatie, en levert vaak een lagere Root Mean Squared Error (RMSE) op dan BKMR met PP, met name bij een hoger aantal blootstellingen.
   • Parametrische Scenario's: Wanneer de ware blootstellings-respons functie parametrisch is (niet-Gaussisch), bereikt Fast BKMR een prestatie die vergelijkbaar is met standaard BKMR naarmate het aantal basisfuncties toeneemt, terwijl het een superieure snelheid behoudt.
3. Toepassing op Geboortegewicht Data: De methode werd toegepast op een dataset van 273.711 geboorterecords uit Georgia om de gezamenlijke effecten van CO, NO$_2$ en PM$_{2.5}$ op geboortegewicht te analyseren. Fast BKMR slaagde erin complexe, niet-lineaire gezamenlijke effecten te vangen en bood nauwere posterior intervallen vergeleken met multi-pollutant lineaire modellen met interactietermen. De analyse bevestigde dat toenemende niveaus van NO$_2$ en PM$_{2.5}$ geassocieerd zijn met een verminderd geboortegewicht, terwijl de associatie voor CO positief maar niet statistisch significant was.

Betekenis en Claims
De auteurs beweren dat Fast BKMR het cruciale schaalbaarheidsprobleem van BKMR aanpakt, waardoor de analyse van grote administratieve gezondheidsdatabases mogelijk wordt die voorheen onhandelbaar waren. De methode biedt een computationeel efficiënt alternatief dat geen offer brengt in de flexibiliteit van het modelleren van niet-lineaire gezamenlijke effecten en interacties.

De paper benadrukt enkele specifieke voordelen:

• Schaalbaarheid: Het faciliteert de analyse van datasets met tienduizenden observaties en meerdere blootstellingen.
• Robuustheid: Het presteert goed, zelfs wanneer het blootstellings-respons-oppervlak sterke afhankelijkheden heeft of wanneer de kernel is misgespecificeerd.
• Numerieke Stabiliteit: Door de inversie van de kernelmatrix te vermijden, omzeilt de methode numerieke singulariteitsproblemen die ontstaan bij Gaussische procesregressie wanneer blootstellingen sterk gecorreleerd zijn (bijv. individuen in hetzelfde census district die identieke blootstellingsgegevens delen).
• Flexibiliteit: Het gesuperviseerde karakter van de RFF stelt de basisfuncties in staat om zich aan te passen aan de data, wat een voordeel biedt ten opzichte van deterministische expansies zoals de Karhunen–Loève expansie.

De auteurs merken beperkingen op, waaronder het feit dat de methode nog steeds tijdrovender is dan niet-Bayesiaanse alternatieven (zoals WQS of q-gcomp) en momenteel alleen van toepassing is op continue uitkomsten. Ze suggereren dat toekomstig werk de variabele selectie via spike-and-slab priors kan verkennen en extensies naar algemene lineaire modellen voor binaire of count uitkomsten.