On the second anisotropic Cheeger constant and related questions

技术摘要：论第二各向异性切格尔常数及其相关问题

问题陈述
本文研究了当指数 $p$ 从上方趋于 1（即 $p \to 1^+$）时，各向异性 $p$-拉普拉斯算子的第二特征值 $\lambda_{2,F}(p, \Omega)$ 的渐近行为。该算子定义为 $-Q_p u := -\text{div}(F^{p-1}(\nabla u)\nabla_\xi F(\nabla u))$，其中 $F$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上一个光滑、凸的 1-齐次范数。虽然第一特征值与第一各向异性切格尔常数（$h_{1,F}$）之间的关系已得到充分研究，但第二特征值及其与相应的“第二”切格尔常数（$h_{2,F}$）之间的关系仍需进一步的严格分析。本文还探讨了一个与“扭曲”各向异性 $q$-切格尔常数相关的约束极小化问题。

研究方法
作者采用了变分法、芬斯勒几何工具以及有界变差（BV）函数理论。关键方法组成部分包括：

• 变分特征化： 利用通过 Lusternik-Schnirelmann 理论对第二特征值进行的极小-极大特征化，以及将定义域分解为两个不相交子域的方法。
• 逼近技术： 利用 BV 函数向具有紧支撑的光滑函数的内逼近结果（特别引用了 [BDPP, 定理 4.3]），以在不施加严格边界限制的情况下处理正则性问题。
• 余面积公式： 应用各向异性余面积公式，将函数的总变差与其水平集的各向异性周长联系起来。
• 等周不等式： 利用各向异性等周不等式（即 Wulff 形在固定体积下使各向异性周长最小），推导下界并刻画极小值。
• 扭曲常数分析： 将扭曲切格尔常数问题重新表述为对不相交集合的极小化问题，并将其简化为涉及 Wulff 形的一维优化问题。

主要贡献与结果

1. 第二特征值的各向异性切格尔不等式：
   本文建立了关于第二特征值的切格尔型不等式：
   $$\lambda_{2,F}(p, \Omega) \geq \left( \frac{h_{2,F}(\Omega)}{p} \right)^p$$
   其中第二各向异性切格尔常数定义为：
   $$h_{2,F}(\Omega) := \inf \left\{ \max \left\{ \frac{P_F(E_1)}{|E_1|}, \frac{P_F(E_2)}{|E_2|} \right\} : E_1, E_2 \subset \Omega, E_1 \cap E_2 = \emptyset, |E_1|, |E_2| > 0 \right\}$$
   这里 $P_F(E)$ 表示各向异性周长。

2. $p \to 1^+$ 时的极限行为：
   主要结果证明了第二特征值在极限下收敛于第二切格尔常数：
   $$\lim_{p \to 1^+} \lambda_{2,F}(p, \Omega)^{1/p} = h_{2,F}(\Omega)$$
   证明过程包括通过切格尔不等式建立下界，以及通过构造基于 $h_{2,F}$ 极小集函数的测试函数来建立上界。

3. 特征函数的收敛性：
   本文证明了归一化的第二特征函数 $u_{2,p}$ 在 $L^1(\Omega)$ 中（经由子列）收敛于一个 $L^1$ 范数为 1 的函数 $u_2 \in BV(\Omega)$。该极限函数满足 $\int_\Omega |Du_2|_F \leq h_{2,F}(\Omega)$，且并非严格正或严格负，这反映了第二特征函数的节点结构。

4. 高阶特征值的差异：
   作者指出，虽然对于 $k=2$ 该极限成立，但对于 $k \geq 3$，只能保证不等式 $\limsup_{p \to 1^+} \lambda_{k,F}(p, \Omega)^{1/p} \leq h_{k,F}(\Omega)$。这种差异在于 $k$ 阶特征函数通常不具备 $k$ 个不同的节点域。

5. 扭曲各向异性 $q$-切格尔常数：
   本文研究了常数 $K_{q,F}(\Omega)$，它被定义为各向异性总变差与零均值函数的 $L^q$ 范数之比的下确界。结果表明 $h_{1,F}(\Omega) \leq K_{1,F}(\Omega) \leq h_{2,F}(\Omega)$。

   • 极小化： 在固定体积的集合上，$K_{q,F}(\Omega)$ 的极小值被证明是两个不相交 Wulff 形的并集。
   • 唯一性与几何性质： 确定了一个临界指数 $\tilde{q}(n)$。当 $q < \tilde{q}$ 时，唯一的极小值由两个半径相等的不同不相交 Wulff 形组成。当 $q > \tilde{q}$ 时，唯一的极小值由两个半径不同的不同不相交 Wulff 形组成。对于 $n=2$，$\tilde{q} = 7/4$，且即使在临界值处，极小值仍然是唯一且对称的。

意义与主张
本文声称将已知关于第一特征值的 $p$-拉普拉斯算性的渐近理论扩展到了第二特征值。通过证明 $\lambda_{2,F}$ 收敛于 $h_{2,F}$，这项工作弥合了谱理论与第二模态几何优化之间的鸿沟。作者明确指出，通过利用 BV 函数的内逼近技术，其结果克服了先前文献（如 [Li, S]）中的某些正则性假设。此外，对扭曲切格尔常数极小值的刻画，提供了在各向异性背景下由零均值条件所施加约束的几何理解，推广了先前的欧几里得结果。本文并非提出新的实验应用，而是巩固了连接非线性特征值问题、各向异性几何与切格尔型常数的理论框架。