On the second anisotropic Cheeger constant and related questions

Technische Samenvatting: Over de tweede anisotrope Cheeger-constante en gerelateerde vraagstukken

Probleemstelling
Dit artikel onderzoekt het asymptotische gedrag van de tweede eigenwaarde, $\lambda_{2,F}(p, \Omega)$, van de anisotrope $p$-Laplace-operator naarmate de exponent $p$ de waarde 1 van bovenaf nadert ($p \to 1^+$). De operator is gedefinieerd als $-Q_p u := -\text{div}(F^{p-1}(\nabla u)\nabla_\xi F(\nabla u))$, waarbij $F$ een gladde, convexe, 1-homogene norm op $\mathbb{R}^n$ is. Terwijl de relatie tussen de eerste eigenwaarde en de eerste anisotope Cheeger-constante ($h_{1,F}$) goed gevestigd is in de limiet $p \to 1^+$, vereist het gedrag van de tweede eigenwaarde en de verbinding met een overeenkomstige "tweede" Cheeger-constante ($h_{2,F}$) verdere rigoureuze analyse. Het artikel verkent ook een geconstrueerd minimalisatieprobleem gerelateerd aan een "getordeerde" anisotrope $q$-Cheeger-constante.

Methodologie
De auteur maakt gebruik van variationele methoden en instrumenten uit de Finsler-geometrie en de theorie van functies van begrensde variatie (BV). Belangrijke methodologische componenten zijn:

• Variationele Karakterisering: Het gebruik van de min-max karakterisering van de tweede eigenwaarde via de Lusternik-Schnirelmann-theorie en de decompositie van het domein in twee disjuncte subdomeinen.
• Benaderingstechnieken: Het benutten van resultaten voor de interne benadering van BV-functies door gladde functies met compacte ondersteuning (specifiek verwijzend naar [BDPP, Stelling 4.3]) om regulariteitsproblemen te behandelen zonder restrictieve aannames op de rand van het domein op te leggen.
• Coarea-formules: Het toepassen van anisotrope coarea-formules om de totale variatie van functies te relateren aan de anisotrope omtrek van hun niveausets.
• Isoperimetrische Ongelijkheden: Het gebruik van de anisotrope isoperimetrische ongelijkheid, die stelt dat de Wulff-vorm de anisotrope omtrek minimaliseert voor een vaste inhoud, om ondergrenzen af te leiden en minimizers te karakteriseren.
• Analyse van de Getordeerde Constante: Het herformuleren van het getordeerde Cheeger-constante probleem als een minimalisatie over disjuncte verzamelingen en het reduceren ervan tot een eendimensionaal optimalisatieprobleem met betrekking tot Wulff-vormen.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

1. Anisotrope Cheeger-ongelijkheid voor de Tweede Eigenwaarde:
   Het artikel stelt een Cheeger-type ongelijkheid vast voor de tweede eigenwaarde:
   $$\lambda_{2,F}(p, \Omega) \geq \left( \frac{h_{2,F}(\Omega)}{p} \right)^p$$
   waarbij de tweede anisotrope Cheeger-constante wordt gedefinieerd als:
   $$h_{2,F}(\Omega) := \inf \left\{ \max \left\{ \frac{P_F(E_1)}{|E_1|}, \frac{P_F(E_2)}{|E_2|} \right\} : E_1, E_2 \subset \Omega, E_1 \cap E_2 = \emptyset, |E_1|, |E_2| > 0 \right\}$$
   Hierbij staat $P_F(E)$ voor de anisotrope omtrek.

2. Limietgedrag bij $p \to 1^+$:
   Het primaire resultaat bewijst dat de tweede eigenwaarde convergeert naar de tweede Cheeger-constante in de limiet:
   $$\lim_{p \to 1^+} \lambda_{2,F}(p, \Omega)^{1/p} = h_{2,F}(\Omega)$$
   Het bewijs omvat het aantonen van zowel een ondergrens (via de Cheeger-ongelijkheid) als een bovengrens (door testfuncties te construeren op basis van de minimaliserende verzamelingen voor $h_{2,F}$).

3. Convergentie van Eigenfuncties:
   Het artikel demonstreert dat de genormaliseerde tweede eigenfuncties $u_{2,p}$ convergeren in $L^1(\Omega)$ (op basis van een subreeks) naar een functie $u_2 \in BV(\Omega)$ met een eenheid $L^1$-norm. Deze limietfunctie voldoet aan $\int_\Omega |Du_2|_F \leq h_{2,F}(\Omega)$ en is niet strikt positief of negatief, wat de nodale structuur van de tweede eigenfunctie reflecteert.

4. Discrepantie voor Hogere Eigenwaarden:
   De auteur merkt op dat hoewel de limiet geldt voor $k=2$, voor $k \geq 3$ alleen de ongelijkheid $\limsup_{p \to 1^+} \lambda_{k,F}(p, \Omega)^{1/p} \leq h_{k,F}(\Omega)$ gegarandeerd kan worden. Deze discrepantie ontstaat omdat de $k$-de eigenfunctie doorgaans niet over $k$ verschillende nodale domeinen beschikt.

5. Getordeerde Anisotrope $q$-Cheeger-constante:
   Het artikel bestudeert de constante $K_{q,F}(\Omega)$, gedefinieerd als het infimum van de ratio van de anisotrope totale variatie tot de $L^q$-norm van functies met een gemiddelde van nul. Er wordt aangetoond dat $h_{1,F}(\Omega) \leq K_{1,F}(\Omega) \leq h_{2,F}(\Omega)$.

• Minimalisatie: De minimizer van $K_{q,F}(\Omega)$ over verzamelingen van vaste inhoud wordt bewezen de vereniging te zijn van twee disjuncte Wulff-vormen.
• Uniciteit en Geometrie: Een kritieke exponent $\tilde{q}(n)$ wordt geïdentificeerd. Voor $q < \tilde{q}$ bestaat de unieke minimizer uit twee disjuncte Wulff-vormen met gelijke radii. Voor $q > \tilde{q}$ bestaat de unieke minimizer uit twee disjuncte Wulff-vormen met verschillende radii. Voor $n=2$ is $\tilde{q} = 7/4$, en de minimizer blijft uniek en symmetrisch, zelfs bij de kritieke waarde.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt de bekende asymptotische theorie van de $p$-Laplace-operator uit te breiden van de eerste eigenwaarde naar de tweede eigenwaarde in de anisotrope setting. Door de convergentie van $\lambda_{2,F}$ naar $h_{2,F}$ te bewijzen, overbrugt dit werk de kloof tussen spectrale theorie en geometrische optimalisatie voor de tweede modus. De auteur stelt expliciet dat de resultaten bepaalde regulariteitsaannames in eerdere literatuur (zoals in [Li, S]) overwinnen door gebruik te maken van interne benaderingstechnieken voor BV-functies. Bovendien biedt de karakterisering van de minimizers van de getordeerde Cheeger-constante een geometrisch begrip van de beperkingen die de zero-mean conditie oplegt in de anisotrope context, wat eerdere Euclidische resultaten generaliseert. Het artikel stelt geen nieuwe experimentele toepassingen voor, maar verstevigt het theoretische kader dat nietlineaire eigenwaardeproblemen, anisotrope geometrie en Cheeger-type constanten verbindt.