技术摘要：带有作用的稳定无穷范畴的谱

问题陈述

与关联到分次或稳定 $\infty$-范畴的谱（spectra）相关的研究，构成了抽象范畴结构与底层几何之间的桥梁。目前存在两种主要的框架：

1. Balmer 的张量三角谱： 由 Balmer [Bal05] 引入，它将张量三角范畴 $\mathcal{T}$ 与局部环化空间 $\text{Spec}^\otimes(\mathcal{T})$ 联系起来，用于分类厚张量理想（thick tensor ideals）。它成功地从完美复形范畴中恢复了几何空间（例如方案）。然而，这需要一个全局张量积结构。
2. Matsui 的三角谱： 由 Matsui [Mat21] 提出，并由 Hirano, Ouchi 及其他人 [HO22, HO24, HKO24, Ito23, IM24] 进一步发展，该框架将其推广到缺乏张量结构的三角范畴，用于分类厚子范畴（thick subcategories）。

目前仍存在一个空白，即如何统一这些方法，并将其扩展到如下情形：范畴 $\mathcal{D}$ 拥有另一个范畴 $\mathcal{S}$ 的作用（即一个 $\mathcal{S}$-模），但 $\mathcal{D}$ 本身缺乏全局张量积。本文旨在解决建立一个统一不变量的需求，该不变量用于分类配备了稳定 $\infty$-范畴 $\mathcal{S}$ 作用的稳定 $\infty$-范畴 $\mathcal{D}$ 的厚 $\mathcal{S}$-子模（thick $\mathcal{S}$-submodules），同时在各种非张量或相对设置中恢复经典的几何直觉。

方法论

作者构造了一个新的不变量，称为相对 Matsui 谱，记作 $\text{Spec}(\mathcal{D}, \mathcal{S}, \mathcal{B})$，其数据项为代数对象 $\mathcal{B}, \mathcal{S} \in \text{Cat}^{\text{perf}}_\infty$，同态 $\phi: \mathcal{B} \to \mathcal{S}$，以及一个左 $\mathcal{S}$-模 $\mathcal{D} \in \text{Cat}^{\text{perf}}_\infty$。

构造过程：

1. 素元与拓扑： 其底层拓扑空间通过 $\mathcal{S}$-素元（$\mathcal{S}$-primes） 来定义。一个厚 $\mathcal{S}$-子模 $P \subset \mathcal{D}$ 被称为 $\mathcal{S}$-素元，如果任何严格包含 $P$ 的 $\mathcal{S}$-子模族的交集仍然严格包含 $P$。空间 $\text{Spc}(\mathcal{D}, \mathcal{S})$ 是由支撑集 $\text{Supp}(W) = \{P \mid W \not\subset P\}$ 生成的素元集合及其拓扑。
2. 结构层： 结构层 $\mathcal{O}$ 通过局部化范畴上恒等函子的自然变换来构造，具体为 $\mathcal{O}(U) = \text{Nat}^0_{\mathcal{B}}(\text{Id}_{\mathcal{D}_U}, \text{Id}_{\mathcal{D}_U})$，其中 $\mathcal{D}_U$ 是 $\mathcal{D}$ 在开集 $U$ 处的局部化。
3. 普遍性： 该谱被表征为普遍支撑数据（universal support datum）。一个支撑数据是一个拓扑 $T_0$-空间，配备了一个从 $\mathcal{D}$ 的对象到闭集的映射，满足平移不变性、作用相容性、直和加法性、精确性和可区分性。相对 Matsui 谱被证明是此类支撑范畴中的初始对象。

关键技术工具：

• 局部化的交换性： 本文利用了稳定 $\infty$-范畴的局部化在何种条件下可以交换（引理 5.1，引理 5.4），这对于建立下降性质和纤维分解至关重要。
• 可容许性与粉碎性（Admissibility and Smashing）： 作者在数据 $(\mathcal{D}, \mathcal{S})$ 上引入了条件（可容许、粉碎、刚性），以确保存在到基底谱 $\text{Spec}(\mathcal{S}, \mathcal{S})$ 的自然态射，并保证谱在基变换和局部化下表现良好。

核心贡献与结果

1. 统一与推广

相对 Matsui 谱推广了 Balmer 和 Matsui 的构造：

• 若 $\mathcal{D} = \mathcal{S} = \mathcal{T}$（一个刚性张量三角范畴），则 $\text{Spec}(\mathcal{D}, \mathcal{S})$ 恢复了 Balmer 谱 $\text{Spec}^\otimes(\mathcal{T})$。
• 若 $\mathcal{S} = \text{Perf}(Z)$ 或 $\text{Sp}^\omega$（有限谱），则它恢复了 Matsui 谱 $\text{Spec}_\triangle(\mathcal{D})$。
• 它提供了一个统一的框架，用于分类厚 $\mathcal{S}$-子模，将张量三角几何扩展到缺乏全局张量积的设置中。

2. 基本性质

• 子模的分类： $\mathcal{D}$ 的厚 $\mathcal{S}$-子模与 $\text{Spc}(\mathcal{D}, \mathcal{S})$ 的特化闭子集之间存在双射关系（定理 4.3）。每个 $\mathcal{S}$-子模都是素 $\mathcal{S}$-子模的交集。
• 向基底的态射： 对于可容许数据，存在一个规范态射 $\text{Spec}(\mathcal{D}, \mathcal{S}) \to \text{Spec}(\mathcal{S}, \mathcal{S})$。这允许进行纤维化分析。
• 下降与基变换： 该谱满足下降性质（引理 7.2），并在基变换下表现良好（定理 6.7），包括当基底由子代数的像局部生成时的情况。

3. 几何应用

本文展示了相对 Matsui 谱如何从多样化的范畴数据中恢复经典的几何空间：

• 方案（Schemes）： 对于平坦态射 $X \to Y$ 且 $Y$ 正则，$\text{Perf}(X)$ 作为 $\text{Perf}(Y)$-模的谱是一个在 $Y$ 上的局部环化空间，其纤维由 $\text{Perf}(X_y)$ 的 Matsui 谱给出。相对导出等价的方案表现为开子方案。
• 扭曲导出范畴（Twisted Derived Categories）： 对于扭曲导出范畴 $\text{Perf}(X, \mu)$，其谱规范同构于基方案 $X$。
• Severi–Brauer 方案： 对于 Severi–Brauer 方案 $Y \to X$，其谱编码了 $Y$ 以及额外的基 $X$ 的副本，反映了半正交分解。在相对维度为 1 时，该谱显式描述为 $Y \sqcup (\coprod_{\mathbb{Z}} X)$。
• 奇异性（Singularities）：
  • 对于奇异范畴 $\text{Sing}(X)$，若 $X$ 局部为超曲面，则该谱恢复了 $X$ 的奇异轨迹。
  • 对于 $\text{Coh}(X)$，过点 $x$ 的纤维与局部环 $\mathcal{O}_{X,x}$ 的嵌入余维数相关。该谱通过与奇异轨迹相关的空间的特化闭集来分类 $\text{Coh}(X)$ 的子模。
• 矩阵因子化（Matrix Factorizations）： 对于导出矩阵因子化范畴 $\text{DMF}(X, L, W)$，该谱恢复了相对奇异轨迹 $\text{Sing}(X_0/X)$，扩展了 Hirano [Hir19] 的结果。
• Koszul 代数： 该谱分类了正则环上的 Koszul 代数之上的厚子范畴，推广了 Liu 和 Pollitz [LP25] 的结果。

意义

本文声称，相对 Matsui 谱扩展了张量三角几何的覆盖范围，使其能够应用于缺乏全局张量积或范畴是相对于基底定义的设置。通过保留分类子范畴的几何直觉，它使得从纯粹的范畴数据中恢复底层经典几何空间（如方案、奇异轨迹和扭曲结构）成为可能。

该构造提供了一个统一的框架，涵盖了之前的谱理论（Balmer 和 Matsui），并为分析带有作用的稳定 $\infty$-范畴提供了强大的工具。研究结果表明，即使在复杂的相对设置中（例如扭曲范畴、矩阵因子化和奇异范畴），范畴结构仍保留了足够的信息，以重建相关的几何轨迹并分类其子模。