Résumé Technique : Le Spectre des Catégories $\infty$-Stables avec Actions

Énoncé du Problème

L'étude des spectres associés aux catégories triangulées ou $\infty$-stables sert de pont entre les structures catégoriques abstraites et la géométrie sous-jacente. Deux cadres principaux existent :

1. Le Spectre Tensoriel de Balmer : Introduit par Balmer [Bal05], il associe un espace localement annelé $\text{Spec}^\otimes(\mathcal{T})$ à une catégorie triangulée tensorielle $\mathcal{T}$, classifiant les idéaux tensoriels épais. Il permet de retrouver avec succès des espaces géométriques (par exemple, des schémas) à partir de catégories de complexes parfaits. Cependant, il nécessite une structure de produit tensoriel globale.
2. Le Spectre Triangulaire de Matsui : Proposé par Matsui [Mat21] et développé plus loin par Hirano, Ouchi et d'autres [HO22, HO24, HKO24, Ito23, IM24], il généralise le concept de spectres à des catégories triangulées dépourvues de structure de tenseur, classifiant les sous-catégories épaisses.

Un fossé subsiste pour unifier ces approches et les étendre à des contextes où une catégorie $\mathcal{D}$ possède une action par une autre catégorie $\mathcal{S}$ (un $\mathcal{S}$-module) mais manque d'un produit tensoriel global sur $\mathcal{D}$ lui-même. Le présent article traite de la nécessité d'un invariant unifié qui classifie les $\mathcal{S}$-sous-modules épais d'une catégorie $\infty$-stable $\mathcal{D}$ équipée d'une action d'une catégorie $\infty$-stable $\mathcal{S}$, tout en retrouvant l'intuition géométrique classique dans divers contextes non tensoriels ou relatifs.

Méthodologie

L'auteur construit un nouvel invariant appelé le spectre de Matsui relatif, noté $\text{Spec}(\mathcal{D}, \mathcal{S}, \mathcal{B})$, pour un donné $(\mathcal{D}, \mathcal{S}, \mathcal{B})$ consistant en des objets d'algèbre $\mathcal{B}, \mathcal{S} \in \text{Cat}^{\text{perf}}_\infty$, un homomorphisme $\phi: \mathcal{B} \to \mathcal{S}$, et un $\mathcal{S}$-module à gauche $\mathcal{D} \in \text{Cat}^{\text{perf}}_\infty$.

Construction :

1. Primes et Topologie : L'espace topologique sous-jacent est défini via des $\mathcal{S}$-primes. Un $\mathcal{S}$-sous-module épais $P \subset \mathcal{D}$ est un $\mathcal{S}$-premier si l'intersection de toute famille de $\mathcal{S}$-sous-modules contenant strictement $P$ contient également strictement $P$. L'espace $\text{Spc}(\mathcal{D}, \mathcal{S})$ est l'ensemble de ces primes muni d'une topologie générée par les supports $\text{Supp}(W) = \{P \mid W \not\subset P\}$.
2. Faisceau de Structure : Le faisceau de structure $\mathcal{O}$ est construit en utilisant les transformations naturelles des foncteurs identité sur les catégories localisées, spécifiquement $\mathcal{O}(U) = \text{Nat}^0_{\mathcal{B}}(\text{Id}_{\mathcal{D}_U}, \text{Id}_{\mathcal{D}_U})$, où $\mathcal{D}_U$ est la localisation de $\mathcal{D}$ au voisinage de l'ouvert $U$.
3. Universalité : Le spectre est caractérisé comme le donnée de support universelle. Une donnée de support est un espace topologique $T_0$ muni d'une application d'objets de $\mathcal{D}$ vers des sous-ensembles fermés satisfaisant l'invariance par décalage (shift invariance), la compatibilité d'action, l'additivité par somme directe, l'exactitude et la distinguabilité. Le spectre de Matsui relatif est montré être l'objet initial dans la catégorie de telles données de support.

Outils Techniques Clés :

• Commutativité des Localisations : L'article utilise des conditions sous lesquelles les localisations de catégories $\infty$-stables commutent (Lemme 5.1, Lemme 5.4), ce qui est crucial pour établir les propriétés de descente et les décompositions fibreuses.
• Admissibilité et Smashing : L'auteur introduit des conditions (admissible, smashing, rigide) sur le donné $(\mathcal{D}, \mathcal{S})$ pour assurer l'existence d'une morphisme naturel vers le spectre de la base $\text{Spec}(\mathcal{S}, \mathcal{S})$ et pour garantir que le spectre se comporte bien sous changement de base et localisation.

Contributions Clés et Résultats

1. Unification et Généralisation

Le spectre de Matsui relatif généralise à la fois les constructions de Balmer et de Matsui :

• Si $\mathcal{D} = \mathcal{S} = \mathcal{T}$ (une catégorie triangulée tensorielle rigide), $\text{Spec}(\mathcal{D}, \mathcal{S})$ retrouve le spectre de Balmer $\text{Spec}^\otimes(\mathcal{T})$.
• Si $\mathcal{S} = \text{Perf}(Z)$ ou $\text{Sp}^\omega$ (spectres finis), il retrouve le spectre de Matsui $\text{Spec}_\triangle(\mathcal{D})$.
• Il fournit un cadre unifié pour classer les $\mathcal{S}$-sous-modules épais, étendant la géométrie tensorielle triangulaire à des contextes dépourvus de produit tensoriel global.

2. Propriétés Fondamentales

• Classification des Sous-modules : Il existe une bijection entre les $\mathcal{S}$-sous-modules épais de $\mathcal{D}$ et les sous-ensembles spécialisés de $\text{Spc}(\mathcal{D}, \mathcal{S})$ (Théorème 4.3). Tout $\mathcal{S}$-sous-module est une intersection de $\mathcal{S}$-primes.
• Morphisme vers la Base : Pour les données admissibles, il existe un morphisme canonique $\text{Spec}(\mathcal{D}, \mathcal{S}) \to \text{Spec}(\mathcal{S}, \mathcal{S})$. Cela permet une analyse fibreuse du spectre.
• Descente et Changement de Base : Le spectre satisfait des propriétés de descente (Lemme 7.2) et se comporte bien sous changement de base (Théorème 6.7), incluant les plongements lorsque la base est localement engendrée par l'image d'une sous-algèbre.

3. Applications Géométriques

L'article démontre que le spectre de Matsui relatif retrouve des espaces géométriques classiques à partir de données catégoriques dans divers contextes :

• Schémas : Pour un morphisme plat $X \to Y$ avec $Y$ régulier, le spectre de $\text{Perf}(X)$ en tant que $\text{Perf}(Y)$-module est un espace localement annelé sur $Y$, donné fibreusement par le spectre de Matsui de $\text{Perf}(X_y)$. Les schémas relativement équivalents dérivés apparaissent comme des sous-schémas ouverts.
• Catégories Dérivées Tordues : Pour les catégories dérivées tordues $\text{Perf}(X, \mu)$, le spectre est canoniquement isomorphe au schéma de base $X$.
• Schémas de Severi–Brauer : Pour un schéma de Severi–Brauer $Y \to X$, le spectre encode $Y$ ainsi que des copies supplémentaires du schéma de base $X$, reflétant les décompositions semi-orthogonales. En dimension relative un, le spectre est explicitement décrit comme $Y \sqcup (\coprod_{\mathbb{Z}} X)$.
• Singularités :
  • Pour la catégorie des singularités $\text{Sing}(X)$, si $X$ est localement une hypersurface, le spectre retrouve le lieu singulier de $X$.
  • Pour $\text{Coh}(X)$, la fibre sur un point $x$ est liée au codimension de l'immersion de l'anneau local $\mathcal{O}_{X,x}$. Le spectre classifie les sous-modules de $\text{Coh}(X)$ via des sous-ensembles spécialisés d'un espace lié au lieu singulier.
• Factorisations de Matrices : Pour les catégories de factorisations de matrices dérivées $\text{DMF}(X, L, W)$, le spectre retrouve le lieu singulier relatif $\text{Sing}(X_0/X)$, étendant les résultats de Hirano [Hir19].
• Algèbres de Koszul : Le spectre classifie les sous-catégories épaisses sur les algèbres de Koszul d'anneaux réguliers, généralisant les résultats de Liu et Pollitz [LP25].

Signification

L'article affirme que le spectre de Matsui relatif étend la portée de la géométrie tensorielle triangulaire à des contextes où un produit tensoriel global est absent ou lorsque la catégorie est définie relativement à une base. En préservant l'intuition géométrique à travers la classification des sous-catégories, il permet de reconstruire les lieux géométriques classiques sous-jacents (tels que les schémas, les lieux singuliers et les structures tordues).

La construction fournit un cadre unifié qui englobe les théories spectrales précédentes (Balmer et Matsui) et offre un outil robuste pour analyser la géométrie des catégories $\infty$-stables équipées d'actions. Les résultats établissent que même dans des contextes relatifs complexes (par exemple, les catégories tordues, les factorisations de matrices et les catégories de singularités), la structure catégorique conserve suffisamment d'informations pour reconstruire les lieux géométriques pertinents et classifier leurs sous-modules.