An Aubin-Yau theorem for transversally Kähler foliations

技术摘要：关于横向 Kähler 叶状结构的 Aubin-Yau 定理

问题陈述
本文研究了横向 Kähler 叶状结构上特殊 Hermitian 度量的存在性与唯一性，这类几何结构将 Kähler 流形推广到了复非 Kähler 的情形。具体而言，作者研究了该背景下 Aubin-Yau 定理的类比。虽然经典的 Aubin-Yau 定理保证了具有负第一陈类（first Chern class）的紧致 Kähler 流形上存在唯一的 Kähler-Einstein 度量，但对于横向 Kähler 叶状结构，相应的结论在文献中尚未得到严格建立。此前一些对该结果的引用（例如 El Kacimi-Alaoui）声称其可以“如经典情况般”得出，但并未提供详细证明。此外，本文指出，对于此类证明至关重要的横向 $\partial\bar{\partial}$-引理（$\partial\bar{\partial}$-lemma）依赖于同调定向性（homological orientability）这一条件，而这一细微差别在简略的陈述中常被忽视。

方法论
作者采用了一种自洽的解析方法，将经典的 Schauder 连续性方法和椭圆正则性理论应用于叶状结构的横向设置。该方法通过以下几个关键阶段进行：

1. 几何框架： 本文利用 Molino 理论来定义横向 Kähler 叶状结构。它建立了必要的几何对象，包括横向框架丛、横向 $G$-结构以及基本拉普拉斯算子（basic Laplacian）。文中对横向 Laplace-Beltrami 算子 ($\Delta_T$) 与基本拉普拉斯算子 ($\Delta_{bas}$) 进行了关键性的区分，并指出在同调定向性的条件下，两者的差是一个零阶算子。
2. 泛函分析： 作者定义了叶状流形上的基本函数 Hölder 空间 ($C^{k,\alpha}_{bas}$) 和 Sobolev 空间 ($W^{k,p}_{bas}$)。文中建立了一个关于这些空间的紧嵌入定理（命题 4.5），这对于连续性方法至关重要。
3. 椭圆算子： 分析的核心在于全非线性二阶微分算子 $\mathcal{C}al^-_T$，它编码了横向 Kähler Aubin-Yau 问题。该方程的形式为：
   $$\mathcal{C}al^-_T(u) = \log \left( \frac{(\omega_0 + \sqrt{-1}\partial_T \bar{\partial}_T u)^q}{\omega_0^q} \right) - u = f$$
   其中 $\omega_0$ 是初始的横向 Kähler 形式。
4. 连续性方法： 为了证明存在性，作者应用了 Schauder 连续性方法。这包括：
   • 开性（Openness）： 证明方程 $\mathcal{C}al^-_T(u) = tf$ 有解的参数集 $t \in [0,1]$ 是开集。这依赖于 Banach 空间中的隐函数定理，要求算子的线性化是同构。作者证明了该线性化算子本质上是一个扰动后的横向拉普拉斯算子，由于拉普拉斯算子在紧致流形上的谱性质，它是一个同构。
   • 闭性（Closedness）： 通过为解建立一致的先验估计（$C^0$, $C^1$, 以及 $C^{2,\alpha}$）来证明该集合是闭集。作者将 Yau 的经典估计（特别是 $C^2$ 估计）改编到了横向设置中，依赖于解的最大值点附近的局部论证。
5. 正则性： 一旦通过连续性方法获得弱解，便调用椭圆正则性理论来证明该解是光滑的（$C^\infty_{bas}$）。

主要贡献与结果

• 定理 5.1（主要结果）： 本文证明了对于一个紧致、同调定向的横向 Kähler 叶状结构 $(M, \mathcal{F})$，若其横向丛的第一陈类 $c_1(\nu\mathcal{F})$ 为负（由一个横向负形式表示），则存在唯一的横向 Kähler 且横向 Einstein 度量，其 Einstein 常数为 $-1$。
• 横向 $\partial\bar{\partial}$-引理： 本文明确利用并依赖于一个横向版本的 $\partial\bar{\partial}$-引理（引理 3.3），该引理在同调定向性条件下成立。这使得将几何问题简化为基本函数上的标量偏微分方程成为可能。
• 唯一性证明： 文中提供了一个详细的唯一性证明，利用两个潜在解之差在最大值原理下的性质。该论证通过将差函数的 Hessian 矩阵相对于背景度量进行对角化，从而证明该差必须为零。
• 在 Vaisman 流形上的应用： 本文将主定理应用于 Vaisman 流形。它为 Vaisman 流形的 Aubin-Yau 定理提供了一个新的、更简单的证明（定理 6.12）。不同于以往依赖 Weitzenböck 型公式来建立拟正则性（quasi-regularity）的证明，这种方法直接应用了横向结果。作者澄清，若 Vaisman 流形规范叶状结构的权重丛上满足特定上同调类条件（$c_1(L) = c_1(K_M^{\otimes 2})$），则在规范叶状结构上存在横向 Einstein 度量的结论，意味着存在具有特定 Chern-Ricci 曲率性质的 Vaisman 度量。

意义与主张

作者声称这项工作填补了文献中的空白，即此前对于横向 Kähler 叶状结构中横向 Einstein 度量的存在性仅有断言而无证明。本文强调，将经典技术改编到叶状设置中是非平凡的，需要仔细处理基本上同调以及横向拉普拉斯算子的特定性质。

这项工作的意义是双重的：

1. 理论层面： 它为横向 Kähler 叶状结构背景下的 Aubin-Yau 定理提供了一个严谨、自洽的证明，建立了必要的分析框架（叶状结构上的椭圆算子、先验估计）。
2. 应用层面： 它为 Vaisman Aubin-Yau 定理提供了一个精简的替代证明，绕过了先前文献中使用的更复杂的机制。作者指出，尽管 Vaisman 流形的结果是已知的，但此处呈现的证明方法是独特且更简单的。

本文对于更广泛的影响保持谦逊，指出该结果在文献中是缺失的，而对 Vaisman 流形的应用旨在展示主定理的实用性。它并未提出超出既定定理范围的新实验应用或未来方向。