An Aubin-Yau theorem for transversally Kähler foliations

Résumé technique : Un théorème d'Aubin-Yau pour les foliations transversalement kählériennes

Énoncé du problème
L'article traite de l'existence et de l'unicité de métriques hermitiennes spéciales sur les foliations transversalement kählériennes, une classe de structures géométriques qui généralise les variétés kählériennes au cadre complexe non kählérien. Plus précisément, l'auteur étudie l'analogue du théorème d'Aubin-Yau dans ce contexte. Alors que le théorème d'Aubin-Yau classique garantit l'existence d'une métrique kählérienne-Einstein unique avec une constante d'Einstein négative sur les variétés kählériennes compactes à première classe de Chern négative, le résultat correspondant pour les foliations transversalement kählériennes n'avait pas été rigoureusement établi dans la littérature. Des références antérieures à un tel résultat (par exemple, El Kacimi-Alaoui) affirmaient qu'il découlait « comme dans le cas classique », sans fournir de preuve détaillée. De plus, l'article note que la version transversale du lemme $\partial\bar{\partial}$, essentielle pour de telles preuves, repose sur la condition d'orientabilité homologique, une nuance souvent négligée dans les affirmations succinctes.

Méthodologie
L'auteur emploie une approche analytique autonome, adaptant la méthode de continuité de Schauder classique et la théorie de la régularité elliptique au cadre transversal des foliations. La méthodologie procède par plusieurs étapes clés :

1. Cadre géométrique : L'article utilise la théorie de Molino pour définir les foliations transversalement kählériennes. Il établit les objets géométriques nécessaires, incluant le fibré de cadres transversal, les structures de $G$ transversales et le Laplacien basique. Une distinction critique est faite entre l'opérateur de Laplace-Beltrami transversal ($\Delta_T$) et le Laplacien basique ($\Delta_{bas}$), notant que sous la condition d'orientabilité homologique, leur différence est un opérateur d'ordre zéro.
2. Analyse fonctionnelle : L'auteur définit des espaces de Hölder de fonctions basiques ($C^{k,\alpha}_{bas}$) et des espaces de Sobolev ($W^{k,p}_{bas}$) sur la variété feuilletée. Un théorème d'inclusion compacte pour ces espaces (Proposition 4.5) est établi, ce qui est crucial pour la méthode de continuité.
3. Opérateurs elliptiques : Le cœur de l'analyse se concentre sur l'opérateur différentiel du second ordre entièrement non linéaire $\mathcal{C}al^-_T$, qui encode le problème d'Aubin-Yau transversalement kählérien. L'équation prend la forme :
   $$\mathcal{C}al^-_T(u) = \log \left( \frac{(\omega_0 + \sqrt{-1}\partial_T \bar{\partial}_T u)^q}{\omega_0^q} \right) - u = f$$
   où $\omega_0$ est la forme initialement transversalement kählérienne.
4. Méthode de continuité : Pour prouver l'existence, l'auteur applique la méthode de continuité de Schauder. Cela implique :
   • Ouverture : Prouver que l'ensemble des paramètres $t \in [0,1]$ pour lesquels l'équation $\mathcal{C}al^-_T(u) = tf$ possède une solution est ouvert. Cela repose sur le théorème des fonctions implicites dans les espaces de Banach, nécessitant que la linéarisation de l'opérateur soit un isomorphisme. L'auteur démontre que l'opérateur linéarisé est essentiellement un Laplacien transversal perturbé, qui est un isomorphisme en raison des propriétés spectrales du Laplacien sur les variétés compactes.
   • Fermeture : Prouver que l'ensemble est fermé en établissant des estimations a priori uniformes ($C^0$, $C^1$, et $C^{2,\alpha}$) pour les solutions. L'auteur adapte les estimations classiques de Yau (spécifiquement l'estimation $C^2$) au cadre transversal, en s'appuyant sur des arguments locaux autour des points de maximum de la solution.
5. Régularité : Une fois une solution faible obtenue via la méthode de continuité, la théorie de la régularité elliptique est invoquée pour montrer que la solution est lisse ($C^\infty_{bas}$).

Contributions et résultats clés

• Théorème 5.1 (Résultat principal) : L'article prouve que pour une foliation transversalement kählérienne, compacte et homologiquement orientable $(M, \mathcal{F})$, où la première classe de Chern du fibré transversal $c_1(\nu\mathcal{F})$ est négative (représentée par une forme transversalement négative), il existe une métrique unique, transversalement kählérienne et transversalement Einstein, avec une constante d'Einstein de $-1$.
• Lemme $\partial\bar{\partial}$ transversal : L'article utilise explicitement et s'appuie sur une version transversale du lemme $\partial\bar{\partial}$ (Lemme 3.3), qui est valide sous la condition d'orientabilité homologique. Cela permet la réduction du problème géométrique à une équation aux dérivées partielles scalaire sur les fonctions basiques.
• Preuve d'unicité : Une preuve détaillée d'unicité est fournie, utilisant le principe du maximum sur la différence de deux solutions potentielles. L'argument diagonalise l'Hessienne de la fonction de différence par rapport à la métrique de fond pour montrer que la différence doit être nulle.
• Application aux variétés de Vaisman : L'article applique le théorème principal aux variétés de Vaisman. Il fournit une nouvelle preuve, plus simple, du théorème d'Aubin-Yau pour les variétés de Vaisman (Théorème 6.12). Contrairement aux preuves antérieures qui reposaient sur des formules de type Weitzenböck pour établir la quasi-régularité, cette approche applique directement le résultat transversal. L'auteur précise que l'existence d'une métrique transversalement Einstein sur la foliation canonique d'une variété de Vaisman implique l'existence d'une métrique de Vaisman avec des propriétés de courbure de Chern-Ricci spécifiques, à condition que la classe de cohomologie du fibré de poids satisfasse des conditions spécifiques ($c_1(L) = c_1(K_M^{\otimes 2})$).

Signification et affirmations
L'auteur affirme que ce travail comble une lacune dans la littérature où l'existence de métriques transversalement Einstein pour les foliations transversalement kählériennes n'était auparavant que supposée sans preuve. L'article souligne que l'adaptation des techniques classiques au cadre feuilleté est non triviale et nécessite une manipulation minutieuse de la cohomologie basique et des propriétés spécifiques du Laplacien transversal.

La portée du travail est double :

1. Théorique : Il fournit une preuve rigoureuse et autonome du théorème d'Aubin-Yau dans le contexte des foliations transversalement kählériennes, en établissant le cadre analytique nécessaire (opérateurs elliptiques sur les foliations, estimations a priori).
2. Appliquée : Il offre une alternative rationalisée pour la preuve de l'Aubin-Yau pour les variétés de Vaisman, contournant les mécanismes plus complexes utilisés dans la littérature antérieure. L'auteur note que bien que le résultat pour les variétés de Vaisman soit connu, la méthode de preuve présentée ici est distincte et plus simple.

L'article reste modeste quant aux implications plus larges, indiquant que le résultat est absent de la littérature et que l'application aux variétés de Vaisman sert de démonstration de l'utilité du théorème principal. Il ne propose pas de nouvelles applications expérimentales ou de directions futures au-delà de la portée des théorèmes établis.