Estimation of the reduced density matrix and entanglement entropies using autoregressive networks

技术摘要：利用自回归网络估算约化密度矩阵与纠缠熵

问题陈述
量化多体系统中的量子纠缠通常需要计算子系统 $A$ 的约化密度矩阵（$\rho_A$）。虽然结合量子蒙特卡洛（QMC）的副本技巧等方法可以估算黎曼纠缠熵，但它们往往无法直接获取冯·诺依曼熵或 $\rho_A$ 的完整谱。此外，约化密度矩阵的规模随子系统尺寸呈指数增长，使得对大系统进行精确对角化变得不可行。现有的机器学习方法，如变分自回归网络（VAN），已被用于估算副本系统的配分函数，但并未直接给出全面纠缠分析所需的 $\rho_A$ 矩阵元。

方法论
作者提出了一种利用分层自回归神经网络（HAN）结合神经重要性采样（NIS）直接估算约化密度矩阵元素的方法。该方法基于路径积分表述，将一维量子横场伊辛链映射到 $L \times (m+1)$ 格点上的二维经典各向异性伊辛模型，其中 $L$ 为自旋数量，$m$ 通过时间步长 $\Delta\tau$ 与逆温度 $\beta$ 相关联。

1. 映射与离散化：量子密度矩阵元 $\rho_{\mu\nu}(\beta)$ 被表示为二维经典系统中配分函数的比值。为了获得约化密度矩阵 $\rho_A$，子系统 $A$ 中的自旋（索引 $\mu_A, \nu_A$）被固定在二维格点的第一行和最后一行，而剩余的自旋（子系统 $B$ 及格点内部）则进行求和。
2. 分层自回归网络（HAN）：作者采用网络分层结构来模拟自旋构型的条件概率，而非使用单一网络。采样顺序经过优化：
   • 首先采样对应于子系统 $A$ 固定边界条件的自旋。
   • 其余自旋利用马尔可夫性质和哈默斯利 - 克利福德定理进行分层生成。格点内部被划分为回路和方格，特定网络被训练用于基于其紧邻的固定邻居采样自旋（例如，在给定回路边界的情况下采样“内部”自旋）。
3. 神经重要性采样（NIS）：为了计算 $\rho_A$ 所需的配分函数求和，作者使用 NIS。配分函数 $Z_{\mu_A, \nu_A}$ 被估算为重要性权重 $\hat{w} = e^{-\tilde{E}(s)} / q_\theta(s)$ 的期望值，其中 $q_\theta$ 是由训练好的 HAN 建模的概率分布。
4. 统一训练：单一的分层网络被训练以同时近似 所有 $\mu_A$ 和 $\nu_A$ 组合的条件概率。训练数据是通过从均匀分布中抽取 $\mu_A$ 和 $\nu_A$，并利用网络本身采样其余构型（反向训练）生成的。

主要贡献

• 矩阵元直接估算：与以往专注于副本系统配分函数的生成式方法不同，该方法显式地估算约化密度矩阵的单个元素。这使得能够从单个训练模型中计算特征值，进而获得冯·诺依曼熵和黎曼熵。
• 高效架构：与标准 VAN 相比，利用伊辛模型中的局部相关性，分层网络结构的使用实现了更快的训练速度和更高的效率。
• 连续极限与零温外推：作者演示了一种通过改变格点维度和时间离散化参数，将结果外推至连续极限（$\Delta\tau \to 0$）和零温（$\beta \to \infty$）的过程。

结果
该方法应用于具有 $L=32$ 个自旋的临界一维横场伊辛模型（$J=h=1$）。

• 约化密度矩阵：作者成功估算了大小为 $l=5$ 的子系统对应的 $32 \times 32$ 约化密度矩阵。该矩阵表现出预期的对称性（厄米性和 $Z_2$ 对称性）。
• 特征值：对估算矩阵的对角化显示，仅在误差范围内有 6 个最大特征值非零，且数值大致呈指数衰减。
• 纠缠熵：
  • 冯·诺依曼熵：针对各种子系统尺寸 $l$ 的外推基态冯·诺依曼熵与共形场论（CFT）预测表现出极好的一致性，每自由度的 $\chi^2$ 为 0.3。
  • 黎曼熵：$n \ge 2$ 的结果也与 CFT 标度形式一致，尽管对于较小的 $l$，有限尺寸效应更为显著。
• 可扩展性：该方法成功处理了高达 $l=5$ 的子系统（需要估算 $2^{2l} = 1024$ 个矩阵元），仅需针对固定的离散化参数进行一次训练运行。

意义与主张
论文声称，该架构提供了一种通用方法，用于估算自旋链的约化密度矩阵和纠缠熵，适用于存在缺陷的系统以及非零温度系统。强调的主要优势在于能够通过单次训练实例计算完整的约化密度矩阵（从而获得多种纠缠度量），避免了对不同矩阵元或副本系统进行单独模拟的需求。

作者谦逊地指出，当前方法受限于约化密度矩阵尺寸随子系统尺寸 $l$ 的指数级增长，将实际应用限制在较小的 $l$ 值（本研究中最高为 5）。他们指出，随总系统尺寸 $L$ 的扩展是未来发展的主要瓶颈，表明需要进一步的架构改进以处理更大的系统。这项工作作为一个概念验证，证明了自回归网络能够弥合经典统计模拟与直接量子纠缠表征之间的鸿沟。