Coherent six-functor formalisms: Pro vs Solid

技术摘要：关于相干六函子形式的笔记：Pro 与 Solid 之比较

问题陈述
本文旨在解决相干层 Grothendieck 六函子形式中的一个基础性缺失。尽管该形式在 étale 上同调的 $\ell$-adic 构造层中已确立，但相干层的情形仍不完整。具体而言，对于开浸入 $j: U \hookrightarrow X$，例外推前函子 $j_!$ 在（拟）相干层的标准范畴之间并不存在。

历史上，为了解决这一问题，曾提出两种不同的方案，通过扩大层的范畴来实现：

1. Deligne 的方法：将范畴扩展为pro-相干层（具体为由 $\mathbb{N}^{op}$ 索引的 pro-系统），以构造 $j_!$ [Har66, 附录]。
2. Clausen-Scholze 的方法：在凝聚数学（condensed mathematics）框架下，将范畴扩展为solid 模，从而在导出范畴中提供对 $j_!$ 的稳健处理 [CS19a, Lecture VIII]。

这两种构造之间的关系尚不明确。本文旨在通过建立 Deligne 的 pro-层构造与 Clausen-Scholze 的 solid 模构造之间的精确比较，来弥合这两种方法。

方法论与技术框架
作者在凝聚数学与拓扑模的背景下，构造了一个自然比较函子 $\Phi$ 并分析了其性质。

1. 函子构造：
   本文定义了一个函子 $\Phi: \text{Pro}_{\mathbb{N}}\text{Mod}(A) \to \text{Solid}(A)$，其中 $A$ 为交换环。该函子将一个 pro-系统 $\varprojlim_{\mathbb{N}} M_i$ 映射到与底层拓扑模（配备逆极限拓扑）的逆极限相关联的 solid 模。

   • 该构造分两步进行：
     • $\Phi_1$：将 pro-系统映射到拓扑模（$\text{TopMod}(A)_{cgwh}$）。
     • $\Phi_2$：通过 Yoneda 嵌入将这些拓扑模映射到凝聚模（$M \mapsto \text{Hom}_{\text{Top}}(-, M)$）。
   • 复合函子 $\Phi = \Phi_2 \circ \Phi_1$ 通过 solid 模范畴 $\text{Solid}(A)$ 分解。

2. 完全忠实性分析：
   一项核心技术结果涉及将 $\Phi$ 限制在Mittag-Leffler pro-系统子范畴（$\text{Pro}^{ML}_{\mathbb{N}}\text{Mod}(A)$）上。

   • 作者证明了当限制在 Mittag-Leffler 系统上时，$\Phi$ 是完全忠实的。
   • 证明依赖于表明：对于 Mittag-Leffler 系统，从同态的直极限到极限的同态的典范映射是一个双射。这需要仔细分析逆极限拓扑，特别是利用以下事实：对于可数索引集，Mittag-Leffler 条件确保了投影映射稳定到稳定像上。
   • 本文明确指出，该性质对于不可数索引集或非 Mittag-Leffler 系统并不成立，并给出了一个涉及 $\omega_1$-索引系统的反例，其中尽管系统是 Mittag-Leffler 的，但极限却为零。

3. 导出函子与相容性：
   本文考虑了右导出函子 $R\Phi: D(\text{Pro}_{\mathbb{N}}\text{Mod}(A)) \to D(\text{Solid}(A))$。主要定理确立了 $R\Phi$ 与 Deligne 定义的 $j^{De}_!$ 及 Clausen-Scholze 定义的 $j^{CS}_!$ 之间的相容性。

主要结果
主要结果为定理 1.1（在命题 2.14 和 3.3 中详述）：

• $\Phi$ 的存在性与性质：存在一个自然函子 $\Phi: \ \text{Pro}_{\mathbb{N}}\text{Mod}(A) \to \text{Solid}(A)$。该函子是左正合的。其在 Mittag-Leffler pro-系统子范畴上的限制 $\Phi_{ML}$ 是正合且完全忠实的。

• $j_!$ 的相容性：对于有限型 $\mathbb{Z}$-代数 $A$ 和非零因子 $f \in A$，令 $j: \text{Spec}(A[1/f]) \hookrightarrow \text{Spec}(A)$ 为开浸入。涉及导出函子的图表交换：
  $$\begin{array}{ccc} \text{Mod}^{fp}(A[1/f]) & \xrightarrow{j^{De}_!} & D(\text{Solid}(A[1/f])) \\ \downarrow & & \downarrow \\ \text{Pro}_{\mathbb{N}}\text{Mod}^{fp}(A) & \xrightarrow{R\Phi} & D(\text{Solid}(A)) \end{array}$$
  具体而言，对于有限表现模，$R\Phi \circ j^{De}_! \cong j^{CS}_! \circ R\Phi$。

• 相容性的证明机制：证明涉及对交换图表两边的显式计算。

  • Deligne 的 $j^{De}_!$ 通过从有限表现模 $M'$ 到其 $f$-进完备化的映射的锥来实现。
  • Clausen-Scholze 的 $j^{CS}_!$ 利用 solid 张量积以及在 $(A[T], A)$ 上 solid 模范畴中 $A[1/f]$ 的分解来计算。
  • 作者通过分析 $f$-进完备化 $\widehat{M'}$ 及其局部化，并利用映射 $A \to \widehat{A}$ 和局部化 $A \to A[1/f]$ 的平坦性结果，证明了这两种构造在 solid 模的导出范畴中产生同构的对象。

意义与主张
本文声称提供了对缺失的 $j_!$ 函子的两种方法的“概念性与结构性统一”。通过证明 Deligne 通过 pro-层的经典构造与 Clausen-Scholze 通过 solid 模的现代构造相一致，这项工作加强了经典技术与凝聚数学工具之间的相容性。

作者指出，虽然该定理目前仅针对特定类型的开浸入（由有限型代数中的非零因子定义），但该结果为一般情形提供了一个“有趣的思路”。本文并未声称已解决任意开浸入的一般情形，但表达了该定理在更广泛范围内成立的预期，并计划在后续工作中“粘合函子 $R\Phi$"。

该工作的范围较为谦逊，侧重于建立这两个特定框架之间的桥梁，而非提出新的实验性应用，或将理论扩展到超越这两种形式比较的全新几何背景中。