Coherent six-functor formalisms: Pro vs Solid

Résumé technique : Notes sur les formalismes cohérents à six foncteurs : Pro contre Solide

Énoncé du problème
L'article comble une lacune fondamentale dans le formalisme des six foncteurs de Grothendieck pour les faisceaux cohérents. Alors que le formalisme est bien établi pour les faisceaux constructibles $\ell$-adiques en cohomologie étale, le cas des faisceaux cohérents reste incomplet. Plus précisément, pour une immersion ouverte $j: U \hookrightarrow X$, le foncteur image directe exceptionnelle $j_!$ n'existe pas en tant que foncteur entre les catégories standards de faisceaux (quasi)cohérents.

Historiquement, deux approches distinctes ont été proposées pour résoudre ce problème en élargissant la catégorie des faisceaux :

1. L'approche de Deligne : Étend la catégorie aux faisceaux pro-cohérents (spécifiquement, des pro-systèmes indexés par $\mathbb{N}^{op}$) pour construire $j_!$ [Har66, Appendice].
2. L'approche de Clausen-Scholze : Étend la catégorie aux modules solides dans le cadre des mathématiques condensées, offrant un traitement robuste de $j_!$ dans un contexte dérivé [CS19a, Cours VIII].

La relation entre ces deux constructions est restée obscure. Cet article vise à faire le lien entre ces approches en établissant une comparaison précise entre la construction de faisceaux pro de Deligne et la construction de modules solides de Clausen-Scholze.

Méthodologie et cadre technique
L'auteur construit un foncteur de comparaison naturel $\Phi$ et analyse ses propriétés dans le contexte des mathématiques condensées et des modules topologiques.

1. Construction du foncteur :
   L'article définit un foncteur $\Phi: \text{Pro}_{\mathbb{N}}\text{Mod}(A) \to \text{Solid}(A)$, où $A$ est un anneau commutatif. Ce foncteur associe à un pro-système $\varprojlim_{\mathbb{N}} M_i$ le module solide associé à la limite inverse des modules topologiques sous-jacents (équipés de la topologie limite inverse).

   • La construction procède en deux étapes :
     • $\Phi_1$ : Associe les pro-systèmes aux modules topologiques ($\text{TopMod}(A)_{cgwh}$).
     • $\Phi_2$ : Associe ces modules topologiques aux modules condensés via l'embedding de Yoneda ($M \mapsto \text{Hom}_{\text{Top}}(-, M)$).
   • Le composé $\Phi = \Phi_2 \circ \Phi_1$ factorise à travers la catégorie des modules solides, $\text{Solid}(A)$.

2. Analyse de la pleine fidélité :
   Un résultat technique central concerne la restriction de $\Phi$ à la sous-catégorie des pro-systèmes de Mittag-Leffler ($\text{Pro}^{ML}_{\mathbb{N}}\text{Mod}(A)$).

   • L'auteur démontre que $\Phi$ est pleinement fidèle lorsqu'il est restreint aux systèmes de Mittag-Leffler.
   • La preuve repose sur le fait que, pour un système de Mittag-Leffler, l'application canonique de la colimite des homomorphismes vers les homomorphismes de la limite est une bijection. Cela nécessite une analyse minutieuse de la topologie limite inverse, en exploitant spécifiquement le fait que, pour des ensembles d'indices dénombrables, la condition de Mittag-Leffler garantit que les applications de projection se stabilisent sur l'image stable.
   • L'article note explicitement que cette propriété échoue pour des ensembles d'indices non dénombrables ou pour des systèmes non de Mittag-Leffler, fournissant un contre-exemple impliquant des systèmes indexés par $\omega_1$ où la limite s'annule malgré le fait que le système soit de Mittag-Leffler.

3. Foncteur dérivé et compatibilité :
   L'article considère le foncteur dérivé à droite $R\Phi: D(\text{Pro}_{\mathbb{N}}\text{Mod}(A)) \to D(\text{Solid}(A))$. Le théorème principal établit la compatibilité de $R\Phi$ avec les foncteurs $j_!$ définis par Deligne ($j^{De}_!$) et Clausen-Scholze ($j^{CS}_!$).

Résultats clés
Le résultat principal est le Théorème 1.1 (détaillé dans les Propositions 2.14 et 3.3) :

• Existence et propriétés de $\Phi$ : Il existe un foncteur naturel $\Phi: \text{Pro}_{\mathbb{N}}\text{Mod}(A) \to \text{Solid}(A)$. Ce foncteur est exact à gauche. Sa restriction à la sous-catégorie des pro-systèmes de Mittag-Leffler, $\Phi_{ML}$, est exacte et pleinement fidèle.

• Compatibilité de $j_!$ : Pour une algèbre $A$ de type fini sur $\mathbb{Z}$ et un non-diviseur de zéro $f \in A$, soit $j: \text{Spec}(A[1/f]) \hookrightarrow \text{Spec}(A)$ l'immersion ouverte. Le diagramme impliquant les foncteurs dérivés commute :
  $$\begin{array}{ccc} \text{Mod}^{fp}(A[1/f]) & \xrightarrow{j^{De}_!} & D(\text{Solid}(A[1/f])) \\ \downarrow & & \downarrow \\ \text{Pro}_{\mathbb{N}}\text{Mod}^{fp}(A) & \xrightarrow{R\Phi} & D(\text{Solid}(A)) \end{array}$$
  Plus précisément, $R\Phi \circ j^{De}_! \cong j^{CS}_! \circ R\Phi$ pour les modules de présentation finie.

• Mécanisme de preuve de la compatibilité : La preuve implique des calculs explicites des deux côtés du diagramme commutatif.

  • Le $j^{De}_!$ de Deligne est réalisé via le cône de l'application d'un module de présentation finie $M'$ vers son $f$-complété.
  • Le $j^{CS}_!$ de Clausen-Scholze est calculé en utilisant le produit tensoriel solide et la résolution de $A[1/f]$ dans la catégorie des modules solides sur $(A[T], A)$.
  • L'auteur démontre que les deux constructions donnent des objets isomorphes dans la catégorie dérivée des modules solides en analysant le $f$-complété $\widehat{M'}$ et sa localisation, en utilisant des résultats de platitude pour l'application $A \to \widehat{A}$ et la localisation $A \to A[1/f]$.

Portée et affirmations
L'article prétend fournir une « unification conceptuelle et structurelle » des deux approches du foncteur $j_!$ manquant. En démontrant que la construction classique de Deligne via les pro-faisceaux coïncide avec la construction moderne de Clausen-Scholze via les modules solides, ce travail renforce la compatibilité des techniques classiques avec les outils des mathématiques condensées.

L'auteur note que, bien que le théorème soit actuellement énoncé pour un type spécifique d'immersion ouverte (défini par un non-diviseur de zéro dans une algèbre de type fini), le résultat offre une « idée intéressante » pour le cas général. L'article ne prétend pas avoir résolu le cas général pour les immersions ouvertes arbitraires, mais exprime l'attente que le théorème soit valable plus généralement, avec le projet de « recoller le foncteur $R\Phi$ » dans un travail à venir.

Le travail est modeste dans son ampleur, se concentrant sur l'établissement du lien entre ces deux cadres spécifiques plutôt que sur la proposition de nouvelles applications expérimentales ou l'extension de la théorie à des contextes géométriques entièrement nouveaux au-delà de la comparaison de ces deux formalismes.