Quantising Chiral Bosons On Riemann Surfaces

技术摘要：黎曼曲面上的手征玻色子量子化

问题陈述
在二维空间中对手征玻色子（自对偶场）进行量子化面临着显著的挑战，特别是在于如何在任意黎曼曲面上构建一致的作用量，以及如何实现模不变性（modular invariance）。虽然 Sen 的作用量 [1, 2] 提供了一个使用物理度规 $g$ 和平坦辅助度规 $\eta$ 的 $4k+2$ 维手征规范场的框架，但该表述受限于仅适用于存在平坦度规的流形。此外，单个手征玻色子的配分函数通常不具备模不变性，且标准方法通常需要通过人工施加自对偶约束，而非从作用量本身推导得出。作者旨在将 Sen 的作用量推广到双度规表述中，使辅助场耦合到一个任意的第二度规 $\bar{g}$，从而允许在任何二维流形（特别是黎曼曲面）上对手征标量进行量子化，并研究由此产生的模性质与反常（anomalies）。

研究方法
本文采用了针对二维手征标量（$k=0$）调整后的 Sen 双度规推广作用量 [3]。研究方法通过以下步骤进行：

1. 作用量构建： 作者利用了一个涉及物理标量 $P$ 与物理度规 $g$ 耦合，以及“影子”标量 $C$ 与第二度规 $\bar{g}$ 耦合的作用量。度规使用复变量 $\tau, \tilde{\tau}$ 对 $g$ 进行参数化，使用 $\rho, \tilde{\rho}$ 对 $\bar{g}$ 进行参数化。用于编码度规依赖性的张量 $M$ 经过了显式评估，以确保作用量是良定义的。
2. 解析延拓： 为了定义路径积分，作者将实洛伦兹度规和欧几里得度规解析延拓为复度规。他们识别了 $\tau, \tilde{\tau}, \rho, \tilde{\rho}$ 参数空间中使得泛函积分收敛的区域（具体要求在某些条件下 $\text{Im}(\rho) < 0$ 且 $\text{Im}(\tau) > 0$）。随后将结果解析延拓至整个参数空间。
3. 路径积分与正则量子化： 配分函数通过两种方法计算：
   • 路径积分： 通过积掉辅助场，将系统简化为耦合到复度规 $h = e^{2\sigma'}(dx + \rho dy)(dx + \tau dy)$ 的非手征标量。在环面（torus）上通过分离零模（缠绕模与动量模）和非零振荡模来评估路径积分。使用 Zeta 函数正则化来处理发散乘积。
   • 正则量子化： 在空间圆周上对系统进行量子化，将 $y$ 视为时间。希尔伯特空间被证明分解为左移（$\tau$）和右移（$\rho$）部分，从而允许将配分函数计算为解耦哈密顿量的迹。
4. 模分析： 考察了配分函数在模参数 $\tau$ 和 $\rho$ 的模变换下的变换性质。作者区分了对角模变换（即 $\tau$ 与 $\rho$ 进行相同的变换）与独立变换。
5. 向高亏格扩展： 通过分析与复度规相关的拉普拉斯算子，并评估来自零模（对 1-循环的周期）和非零模的贡献，将路径积分推广到任意黎曼曲面。

核心贡献与结果

• 有效作用量与复度规： 作者证明了手征玻色子的双度规作用量可以简化为耦合到复度规 $h$ 的非手征标量的有效作用量。这使得可以使用研究非手征标量的标准技术来研究手征系统。
• 配分函数结构：
  • 对于圆周或环面上的一般手征玻色子，配分函数 $Z(\tau, \rho)$ 取决于两个模。在一般情况下，它是一个不具备因子分解性质的项之和。
  • 对于有理环面（紧化半径平方为有理数时），配分函数变为全纯函数的乘积的有理有限和：$Z(\tau, \rho) = \sum C_{a\bar{b}} \chi_a(\tau) \chi_{\bar{b}}(\rho)$。
  • 至关重要的是，对于与偶自对偶格点（如 $E_8$ 的根格点或 $Spin(32)/\mathbb{Z}_2$ 的权格点）相关的 $8k$ 个手征玻色子，其配分函数完全因子分解为一个单一乘积：$Z(\tau, \rho) = F(\tau) \tilde{F}(\rho)$。
• 模不变性与反常：
  • 配分函数被证明在模群 $SL(2, \mathbb{Z})_\tau \times SL(2, \mathbb{Z})_\rho$ 的对角子群（对应于坐标变换）下是不变的。
  • 作者识别了与物理度规 $g$ 和影子度规 $\bar{g}$ 相关的引力反常。
  • 他们提出了一种通过引入“影子”扇区来实现完全模不变性和反常抵消的机制。具体而言，对于异种弦（heterotic string，16 个手征玻色子），物理扇区抵消 $g$-反常，而第二组耦合到 $\bar{g}$ 的场则抵消 $\bar{g}$-反常。这产生了一个总配分函数，它在 $\tau$ 和 $\rho$ 的独立模变换下保持不变。
• 异种弦应用： 该形式化方法被应用于异种弦。通过将物理异种弦场耦合到 $g$，并将一个影子异种弦耦合到 $\bar{g}$，作者构建了一个世界面作用量，其量子化过程是模不变的，并且在两个扇区中均不存在引力反常。这反映了在 Sen 及其他涉及影子扇区的异种弦场论中发现的结构。
• 高亏格： 路径积分成功地推广到了一般的黎曼曲面，其配分函数可以用复度规上的拉普拉斯算子的行列式以及涉及曲面周期矩阵的西塔函数（theta-functions）来表示。

意义
本文声称，双度规表述提供了一个稳健的框架，用于在任意黎曼曲面上对手征玻色子进行量子化，而无需人工施加自对偶约束。通过解析延拓到复度规，作者推导出了一个良定义的配分函数，该函数自然地包含了影子扇区。其主要意义在于，为基于偶自对偶格点的手征玻色子构建了一个一致的、模不变的理论，这直接适用于异种弦。这项工作表明，当理论在具有两个度规的一般二维流形上构建时，“影子”扇区（通常被视为非物理的）在抵消引力反常和确保模不变性方面起到了必要的作用。研究结果证实，对于特定的格点选择（偶自对偶），配分函数能够进行优雅的因子分解，从而促进了无反常弦论的构建。