Quantising Chiral Bosons On Riemann Surfaces

技術要約：リーマン面上のカイラル・ボソンの量子化

問題設定
2次元におけるカイラル・ボソン（自己双対場）の量子化は、任意のリーマン面上での一貫した作用の定式化、およびモジュラー不変性の達成に関して、重大な課題を提示している。Senの作用 [1, 2] は、物理的な計量 $g$ と平坦な補助計量 $\eta$ を用いた $4k+2$ 次元のカイラルゲージ場の枠組みを提供しているが、この定式化は平坦な計量を持つ多様体に限定されている。さらに、単一のカイラル・ボソンの分配関数は一般にモジュラー不変ではなく、標準的なアプローチでは、自己双対性の制約を作用から導出するのではなく、手動で課す必要があることが多い。著者らは、Senの作用を、補助場が任意の第2の計量 $\bar{g}$ に結合するバイメトリック（二計量）定式化へと一般化することで、任意の2次元多様体（具体的にはリーマン面）上でのカイラル・スカラーの量子化を可能にし、その結果として得られるモジュラー特性とアノマリーを調査することを目的としている。

手法
本論文では、2次元カイラル・スカラー（$k=0$）に適応させたSenの作用 [3] のバイメトリック一般化を採用している。手法は以下のステップに従う：

1. 作用の定式化： 著者らは、物理的スカラー $P$ が物理的計量 $g$ に結合し、さらに「シャドウ」スカラー $C$ が第2の計量 $\bar{g}$ に結合する作用を用いている。計量は、$g$ のための複素変数 $\tau, \tilde{\tau}$ および $\bar{g}$ のための $\rho, \tilde{\rho}$ を用いてパラメータ化される。計量への依存性を符号化するテンソル $M$ は、作用がウェルディファインド（定義可能）であることを保証するために明示的に評価される。
2. 解析接続： パス積分を定義するために、著者らは実数的なローレンツ計量およびユークリッド計量を複素計量へと解析接続する。$\tau, \tilde{\tau}, \rho, \tilde{\rho}$ のパラメータ空間において、関数積分が収束する領域（具体的には、特定の条件の下で $\text{Im}(\rho) < 0$ かつ $\text{Im}(\tau) > 0$ を必要とする）を特定する。その結果は、全パラメータ空間へと解析接続される。
3. パス積分と正準量子化： 分配関数は以下の2つの方法で計算される：
   • パス積分： 補助場を積分消去することで、システムを複素計量 $h = e^{2\sigma'}(dx + \rho dy)(dx + \tau dy)$ に結合した非カイラル・スカラーへと還元する。パス積分は、ゼロモード（巻き付きおよび運動量）と非ゼロの振動モードを分離することで、トーラス上で評価される。発散する積を扱うために、ゼータ関数正規化が用いられる。
   • 正準量子化： システムを空間的な円周上で量子化し、$y$ を時間として扱う。ヒルベルト空間は左移動（$\tau$）セクターと右移動（$\rho$）セクターに分解されることが示され、これにより、デカップルされたハミルトニアンのトレースとして分配関数を計算することが可能となる。
4. モジュラー解析： モジュリ $\tau$ および $\rho$ のモジュラー変換に対する分配関数の変換特性を検討する。著者らは、診断的な（対角的な）モジュラー変換（$\tau$ と $\rho$ が同一に変換される場合）と、独立した変換を区別する。
5. 高次種への拡張： 複素計量に関連するラプラシアンを解析し、ゼロモード（1サイクル上の周期）と非ゼロモードからの寄与を評価することにより、パス積分を任意のリーマン面へと一般化する。

主要な貢献と結果

• 有効作用と複素計量： 著者らは、カイラル・ボソンのバイメトリック作用が、複素計量 $h$ に結合した非カイラル・スカラーの有効作用に帰着することを証明している。これにより、カイラル系を研究するために非カイラル・スカラーの標準的な手法を用いることが可能となる。
• 分配関数の構造：
  • 円周またはトーラス上の一般的なカイラル・ボソンの場合、分配関数 $Z(\tau, \rho)$ は両方のモジュリに依存する。一般的なケースでは、項は因子分解しない。
  • 有理トーラス（コンパクト化半径の2乗が有理数である場合）において、分配関数は、正則関数の積の有限和となる：$Z(\tau, \rho) = \sum C_{a\bar{b}} \chi_a(\tau) \chi_{\bar{b}}(\rho)$。
  • 決定的なことに、偶数自己双対格子（$E_8$ のルート格子や $Spin(32)/\mathbb{Z}_2$ のウェイト格子など）に関連する $8k$ 個のカイラル・ボソンについては、分配関数は単一の積へと完全に因子分解する：$Z(\tau, \rho) = F(\tau) \tilde{F}(\rho)$。
• モジュラー不変性とアノマリー：
  • 分配関数は、座標変換に対応するモジュラー群 $SL(2, \mathbb{Z})_\tau \times SL(2, \mathbb{Z})_\rho$ の対角部分群に対して不変であることが示される。
  • 著者らは、物理的計量 $g$ とシャドウ計量 $\bar{g}$ の両方に関連する重力アノマリーを特定している。
  • 「シャドウ」セクターを導入することで、完全なモジュラー不変性とアノマリー消去を達成するメカニズムを提案している。具体的には、ヘテロティック弦（16個のカイラル・ボソン）の場合、物理セクターが $g$-アノマリーを相殺し、$\bar{g}$ に結合する第2の場の一群が $\bar{g}$-アノマリーを相殺する。これにより、$\tau$ と $\rho$ の独立したモジュラー変換に対して不変な全分配関数が得られる。
• ヘテロティック弦への応用： 本形式をヘテロティック弦に適用する。物理的なヘテロティック弦の場を $g$ に、シャドウ・ヘテロティック弦を $\bar{g}$ に結合させることで、量子化がモジュラー不変であり、かつ両方のセクターにおいて重力アノマリーを持たないワールドシート作用を構築する。これは、Senの理論や他のヘテロティック弦の場を含む理論で見られるシャドウ・セクターの構造を反映している。
• 高次種： パス積分は一般的なリーマン面へと成功裏に拡張され、分配関数は、複素計量上のラプラシアンの行列式と、曲面の周期行列を含むシータ関数を用いて表現される。

意義
本論文は、バイメトリック定式化が、自己双対性の制約を手動で課すことなく、任意のリーマン面上でのカイラル・ボソンを量子化するための堅牢な枠組みを提供すると主張している。複素計量への解析接続を通じて、著者らはシャドウ・セクターを自然に取り込んだ、ウェルディファインドな分配関数を導出している。主要な意義は、偶数自己双対格子上のカイラル・ボソンのための、一貫したモジュラー不変な理論の構築にあり、これはヘテロティック弦に直接適用可能である。この研究は、「シャドウ」セクター（しばしば非物理的と見なされる）が、理論が2つの計量を持つ一般的な2次元多様面上に定式化される際、重力アノマリーを相殺しモジュラー不変性を確保するために必要な役割を果たしていることを示唆している。結果は、特定の格子（偶数自己双対格子）の選択において、分配関数が優雅に因子分解することを裏付けており、アノマリーのない弦理論の構築を容易にしている。