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Preparation of the single-spinon wave function on a quantum computer

本文提出了一种基于幺正算符线性组合的量子算法，用于制备并分析海森堡模型与霍尔丹-沙斯特里模型中单单子波函数的能量，并从计算资源与性能两个维度对三种不同的策略进行了比较。

原作者： D. Faílde, A. Gómez, J. Fernández-Rossier

发布于 2026-09-02

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原作者： D. Faílde, A. Gómez, J. Fernández-Rossier

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

在量子材料的微观世界中，原子经常将自身排列成长的一维链，表现得像是在与邻居相互作用的微型磁铁。几十年来，物理学家一直在研究这些链，以了解磁性在最基本层面上是如何运作的。该领域的一个关键谜题涉及一种特定的磁链，其相互作用是完美平衡的，从而创造了一种量子无序状态。在这种系统中，集体激发——即链在受到扰动时的反应方式——并不表现为熟悉的声波或光波。相反，理论表明这些激发会破碎成更小的、独立的碎片。这些碎片被称为“自旋子”（spinons）。与完整的磁波不同，一个自旋子只携带单个原子一半的磁强度，这种特性在经典世界中似乎是不可能的，但在量子领域却是完全正常的。理解这些自旋子的运动和能量传递对于掌握奇异材料的行为至关重要，然而在物理实验中直接观察它们却极其困难，因为它们在现实世界中并不作为孤立的对象存在。

为了解决这个问题，研究团队转向了新兴的量子计算力量。研究人员并没有试图构建一条物理上的原子链，而是使用数字量子处理器来模拟这些磁链的行为，并构建出单个自旋子的数学蓝图。研究人员专注于两种特定的磁链模型：一种是原子仅与紧邻的邻居相互作用的模型，另一种是原子与链中每一个其他原子都发生相互作用（无论距离远近）的模型。他们的目标是弄清楚如何准备一个代表单个自旋子的量子态，这项任务此前一直受限于理论计算或在经典计算机上的模拟。通过在量子计算机上成功创建这种状态，他们展示了一种探索这些难以捉摸的粒子属性（如能量和动量）的新方法，而无需在物理实验室中将其隔离出来。

他们开发的过程是一个多步骤的程序，首先从准备磁链的基态开始。基态是系统所能保持的最低能量构型，是一种自旋平衡的稳定排列。一旦在量子计算机上建立了这种稳定状态，研究人员就会引入一个额外的磁单元，实际上是为链中增加了一个原子。这种添加破坏了完美的平衡，创造了使自旋子存在的条件。然而，仅仅添加一个原子是不够的；研究人员需要创造一种特定的模式，使这个额外的单元在链上展开，从而使其具有定义的动量。为了实现这一点，他们使用了一种称为“酉算符线性组合”（linear combination of unitaries）的技术。简单来说，这意味着他们并没有试图让量子计算机通过单一步骤来创建最终状态。相反，他们创建了许多种可能性的叠加态，其中额外的自旋分布在链的不同位置，然后以精确的数学方式将这些可能性结合起来，形成最终的自旋子态。

团队在两种不同类型的磁链上测试了这种方法。对于原子仅与邻居对话的链，他们使用了一种被称为“变分量子特征值求解器”（variational quantum eigensolver）的灵活迭代方法来寻找基态。对于具有长程相互作用的链，他们使用了一种基于特定数学投影的更直接、精确的方法。在两种情况下，他们都成功生成了单自旋子态并测量了其属性。他们发现，自旋子的能量随其动量的变化方式与数十年前的理论公式完全吻上。这证实了他们的数字构建是准确的。他们还测量了一个称为“范数”（norm）的量，这本质上告诉我们该状态有多“真实”或定义明确。结果显示，自旋子态仅在特定的动量范围内存在，在范围之外则消失，这符合自旋子被限制在特定量子景观区域的理论理解。

虽然创建状态的直接方法有效，但它需要大量的额外量子比特（即辅助比特/ancilla qubits）才能运行，且操作的成功是概率性的，这意味着它并非每次都能成功。为了解决这个问题，研究人员探索了需要更少资源的替代策略。一种方法是通过将问题分解为更小、更易处理的部分并分别测量它们，而不是试图一次性创建完整的状态来计算自旋子的能量和属性。这种被称为“哈达玛测试”（Hadamard test）的方法使用单个额外的量子比特来探测系统。尽管这种方法需要运行更多次的独立电路来收集相同数量的数据，但在硬件需求方面却更加高效。研究人员比较了这些不同的策略，发现虽然直接方法功能强大，但这种逐步测量的方案更适合于当前这一代量子计算机，因为这类计算机的量子比特之间的连接性有限。

这项研究完全是通过计算机模拟进行的，这意味着研究人员是在模仿量子处理器的行为的经典计算机上运行算法。他们并没有在实际的物理量子硬件上进行实验，但模拟过程足够严谨，足以测试这些方法的可行性。结果表明，所提出的技术是可行的，且单自旋子波函数可以被准确地准备和分析。研究人员还将工作扩展到了 Haldane-Shastry 模型（一种具有长程相互作用的更复杂系统），并发现同样的方法也成功适用。这是一个重要的进步，因为在应用于更复杂的长程系统时，适用于简单短程链的数学工具往往会失效或变得低效。通过展示这些量子算法能够处理这两类模型，该团队为未来研究更复杂的磁性材料铺平了道路。

最终，这项工作为如何在量子计算机上研究复杂的量子粒子提供了路线图。准备和测量单个自旋子态的能力，是理解更复杂现象（例如这些粒子在二维材料中的行为）的基础性步骤。在现实世界中，适用于一维链的数学技术（如 Bethe ansatz 或密度矩阵重整化群）在应用于二维系统时会变得效率低下甚至完全失效。量子模拟提供了一个潜在的解决方案。通过在模拟环境中证明这些方法可行，研究人员表明，量子计算机最终可以成为探索更高维度中自旋子波函数和动力学的核心工具，从而为探索目前经典计算机无法触及的量子物质行为开启了一扇新的窗口。

技术摘要：在量子计算机上制备单自旋子波函数

问题陈述
本文研究了在量子计算机上制备一维 $S=1/2$ 自旋模型中单自旋子（single-spinon）波函数的挑战。尽管具有反铁磁相互作用的海森堡模型拥有无能隙的自旋激发谱，但这些激发通常被描述为被称为自旋子（ $S=1/2$ ）的复合粒子，而非孤立的磁振子。Kulka 等人 [1] 提出了一种启发式的单自旋子波函数拟设，通过在 $L$ 个位点的链的基态构型中添加一个 $S_z=1/2$ 的位点，构建了一个由 $L+1$ 个位点组成的 $S=1/2$ 态。然而，在量子硬件上实现该拟设并非易事，因为生成的态不是归一化的，且无法由单个酉算符生成；它需要酉算符的线性组合（LCU）。此外，虽然该拟设已在 XXZ 模型中得到验证，但其在长程相互作用的 Haldane-Shastry 模型中的适用性尚未得到确立。

方法论
作者提出了一个由三个主要阶段组成的方案，如图 1 所示：

基态制备： 在 $L$ $L$ 个量子比特上制备目标自旋模型（海森堡或 Haldane-Shastry）的基态（ $|\Psi_{GS}\rangle$ $∣ Ψ_{GS} ⟩$ ）。
- 对于海森堡模型，他们利用变分量子特征值求解器（VQE）。他们采用了一个浅层参数化量子电路（PQC），该电路使用自由费米子态（通过 Givens 旋转获得）而非价键晶体进行初始化，随后叠加 $R_{ZZ}$ 和 $R_{XX+YY}$ 门层。
- 对于 Haldane-Smastry 模型，他们利用了其基态是 Gutzwiller 投影自由费米子海这一事实。他们通过 Givens 旋转制备自由费米子态，并通过一系列 CNOT 门应用 Gutzwiller 投影。这一步是非确定性的，其成功概率随系统规模呈指数级衰减。
单自旋子态构建： 将晶格扩展一个位点（添加一个处于 $|\uparrow\rangle$ 态的辅助量子比特）并应用自旋子拟设。该拟设定义为扩展构型的傅里叶变换： $|\Psi(q)\rangle = \frac{1}{\sqrt{L+1}} \sum_{m=0}^{L} e^{iqm} |\Psi(m)\rangle$ ，其中 $|\Psi(m)\rangle$ 表示在第 $m$ 个位点插入额外自旋后的基态。
能量与模长估计： 文中评估了三种不同的策略，用于计算动量相关的模长 $N(q)$ $N (q)$ 和能量色散 $\epsilon(q)$ $ϵ (q)$ ：
- 酉算符线性组合 (LCU)： 一种非确定性算法，使用 $L$ 个辅助量子比特来直接制备叠加态 $|\Psi(q)\rangle$ 。通过测量辅助寄存器处于 $|0\rangle^{\otimes L}$ 态的概率来估计模长。
- SWAP 链期望值： 一种确定性方法，直接在基态上计算重叠 $\langle \Psi(n) | \Psi(m) \rangle$ 。然而，这需要测量指数数量的泡利链（ $O(4^L)$ ）。
- Hadamard 测试： 一种使用单个辅助量子比特来逐项估计重叠和跃迁振幅的确定性方法。它需要 $O(L^2)$ 个电路，但避免了 Pauli 链的指数级缩放以及 LCU 方法的高辅助量子比特需求。

核心贡献

向 Haldane-Shastry 模型的扩展： 作者证明了最初为 XXZ 模型开发的 Kulka 等人的单自旋子拟设准确地描述了 Haldane-Shastry 模型中的自旋子。他们验证了该拟设能够正确重现解析能量色散 $\epsilon(q) = \frac{J}{2}(q_0^2 - q^2)$ 以及模长非零的动量域（ $-\pi/2 < q < \pi/2$ ）。
量子实现策略： 本文为在量子硬件上实现单自旋子拟设提供了详细的路线图。他们比较了 LCU、SWAP-string 和 Hadamard 测试方法的资源成本（量子比特、门、电路深度及电路数量）。
计算机模拟验证（In-Silico Validation）： 所提方法通过高达 $L=16$ （海森堡）和 $L=8$ （Haldane-Shastry）的系统规模进行了数值模拟测试。模拟确认了 Hadamard 测试和 LCU 方法产生的结果与精确对角化一致。

结果

基态制备： 用于海森堡模型的 VQE 方法在中小链长（ $L \leq 8$ ）下实现了低保真度，随着 $L$ 的增加性能略有下降，但仍保持在采样噪声阈值以下。对于 Haldane-Shastry 模型，Gutzwiller 投影法产生了高保真度，但受限于指数级衰减的成功概率（ $p \sim 2^{-\sqrt{2}L/2}$ ），限制了其在适中链长下的实际应用。
自旋子色散： 计算出的能量色散 $\epsilon(q)$ 和模长 $N(q)$ 与解析预测相匹配。随着 $L$ 的增大， $N(q)$ 在 $|q| > \pi/2$ 时正确趋于零，证实了自旋子的动量域。
方法比较：
- LCU 方法允许直接制备状态，但需要 $L$ 个辅助量子比特和一个非确定性的后选择步骤。其成功概率随 $N(q)/(L+1)$ 线性缩放，比用于基态制备的 Gutzwiller 投影更具可扩展性。
- Hadamard 测试仅需一个辅助量子比特，且是确定性的。虽然它需要执行 $O(L^2)$ 次电路，但它避免了直接 SWAP-string 方法中 Pauli 项的指数级缩放，也避免了 LCU 的高量子比特开销。作者指出，对于 Haldane-Shastry 模型，基态制备成功率的指数衰减在误差预算中占主导地位，需要指数级增加采样次数（shots）以维持精度。

意义与主张
本文声称提供了一个在物理量子系统中实现单自旋子波函数的实用框架，这是在经典方法（如 Bethe Ansatz 或 DMRG）变得效率低下的区域（特别是高维情形）研究准粒子的必要步骤。作者明确指出，其方法目前是在“计算机模拟（in-silico）”环境下测试的，并未声称在物理硬件上实现了实验验证。其主要贡献在于提出了针对这些特定非平凡自旋波函数的算法提案和资源分析，为未来在精确解不存在的二维模型中的实现奠定基础。这项工作强调了在近期的量子硬件约束下，确定性逐项估计（Hadamard 测试）与概率性状态制备（LCU）之间的权衡。

技术摘要：在量子计算机上制备单自旋子波函数

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