Exotic rheology of materials with active rearrangements

技术摘要：具有主动重排特性的材料之奇异流变学

问题陈述
生物组织表现出由内部主动应力驱动的复杂流变特性，尤其是在发育过程（如收敛伸展，convergence-extension, CE）期间。在 CE 过程中，上皮组织在一个方向上伸长，而在另一个方向上收缩，这一过程受主动 T1 过渡（即细胞邻居交换）的控制，且该过程发生在施加应力的反方向。这导致了“奇异”的流变学行为，包括涌现出的负剪切模量和粘度。虽然理论模型已经捕捉到了被动屈服应力行为和流固转变，但关于反馈驱动的主动 T1 过渡（即屈服发生在极化轴的反方向）的力学机制，在平均场框架内仍有待探索。现有模型通常缺乏一种统一的描述，来解释这些主动重排如何与被动元件耦合，从而产生非单调流曲线和负应力。

方法论
作者引入了一种基于 Hébraid-Lequeux (HL) 框架的平均场弹塑性模型，并将其扩展为包含被动元件和主动元件的两组分混合物。

• 模型结构： 系统由比例为 $\phi$ 的主动块和 $(1-\phi)$ 的被动块组成。两者均受到外部剪切应变率 $\dot{\gamma}$ 的作用。
• 应力-应变关系： 被动块遵循标准的弹性响应（$\sigma = G_0 \gamma$），直至达到屈服应力 $\sigma_{0,c}$。主动块表现出相反的应力响应（$\sigma = G_1 \gamma$，其中 $G_1 < 0$），直至达到屈服应力 $\sigma_{1,c}$，用以模拟在应力方向相反处发生收缩的 T1 过渡。
• 动力学： 应力概率分布 $P_k(\sigma, t)$（其中 $k=0$ 为被动，$k=1$ 为主动）的演化由 Fokker-Planck 方程控制。该方程包括由于弹性加载引起的平流项、代表应力重新分布的机械噪声扩散项 $D(t)$，以及当块超过其局部屈服应力时被移除并重置的屈服项。
• 自洽性： 扩散系数通过塑性活性 $\Gamma(t)$ 与之耦合，即 $D(t) = \alpha \Gamma(t)$，其中 $\alpha$ 是控制从屈服应力材料向流体转变的无量纲参数。模型还探讨了在屈服后残留的主动应力 $\sigma_R$ 的影响。
• 解： 作者寻求平稳解（$\partial_t P_k = 0$），以推导出宏观应力 $\langle \sigma \rangle$ 和屈服应力作为应变率、主动比例及应力扩散参数的函数关系。

主要贡献与结果

1. 非单调流曲线： 引入具有相反应力响应的主动元件从根本上改变了流变学特性。模型预测了非单调流曲线：在低 $\dot{\gamma}$ 时宏观应力与应变率方向相反，但在高 $\dot{\gamma}$ 时与应变率方向一致。这种交叉行为是收敛伸展过程的特征。
2. 负屈服应力与粘度： 当主动元件的比例超过阈值时，系统表现出负屈服应力和负初始有效粘度（$\eta_0$）。当主动比例与屈服应力之差（$\sigma_{1,c} - \sigma_{0,c}$）之间的竞争使得在低应变率下主动响应占优时，就会发生这种情况。
3. 相图： 作者将 $(\phi, \alpha)$ 参数空间映射为七种不同的相：
   • 被动相 (P)： 对于所有应变率均为单调正应力。
   • 屈服应力 (Y) 与 流体 (F)： 由临界值 $\alpha_c$ 分隔。
   • 转折相 (T)： 表现出非单调行为的区域（YT+、YT-、FT），其中应力或粘度发生符号变化。
   • 后退相 (B)： 主要是主动系统（$\phi > 0.5$），其应力和梯度在所有应变率下保持为负。
4. 残余主动应力： 引入非零残余应力 $\sigma_R$ 会打破应力-应变率关系的对称性。这导致了：
   • 降低了有效屈服阈值，促进了流体化。
   • 在零应变率时，流体相具有有限的宏观应力。
   • 流曲线呈现不对称性（类滞后行为），即应力和粘度取决于应变率极限的方向（$0^+$ 与 $0^-$）。

意义与主张
本文声称，这种两组分平均场模型成功重现了生物收敛伸展中观察到的奇异流变学特征，即组织能够在低速率下相对于施加的应力发生屈服，而在高速率下恢复被动行为。作者强调，这些特征是超材料的特征，但生物系统独特地拥有动态重排和重建其机械结构的能力。

研究表明，由主动成分与应力扩散相互作用驱动的主动流变学，可以作为发育模式形成（如原条形成或空间受控的阻塞/解阻塞转变）的新型驱动力。作者将这项工作定位为理解主动元件丰富现象学的基础性一步，并指出尽管该模型刻意保持简单，但它提供了一套实现“自建式”流变响应的路线图，可能导致能够模仿组织力学的自主重构液体引擎。本文并不声称直接映射到特定的生物实验，而是提供了一个理论框架，其中关键参数（模量、屈服应力、时间尺度）可以映射到生物尺度（例如，$\sim 1$ kPa 应力和 $\sim 15$ 分钟的 T1 时间尺度）。