Exotic rheology of materials with active rearrangements

技術要約：能動的再編成を伴う材料の特異なレオロジー

問題提起
生物学的組織は、内部の能動的な応力、特に収束・伸長（convergence-extension; CE）のような発生過程における複雑なレオロジー特性を示す。CEにおいて、上皮組織は一方の方向に伸長し、他方の方向では収縮する。このプロセスは、加えられた応力の反対方向に細胞の隣接交換が生じる「能動的なT1遷移」によって支配されている。これにより、負のせん断弾性率や粘性といった「特異な（exotic）」レオロジーが生じる。理論モデルは受動的な降伏応力挙動や流体・固体転移を捉えてきたが、偏極軸に対して反対方向に降伏が起こる、フィードバック駆動型の能動的T1遷移のメカニズムについては、平均場フレームワーク内での探求が進んでいない。既存のモデルは多くの場合、能動的な再編成がいかにして受動的要素と結合し、非単調な流動曲線や負の応力を生成するかという統一的な記述を欠いている。

手法
著者らは、受動的要素と能動的要素の二成分混合を含むように拡張された、ヘブラウド・レコー（Hébraud-Lequeux; HL）フレームワークに基づく平均場弾塑性モデルを導入している。

• モデル構造： システムは、能動的ブロックの割合 $\phi$ と、受動的ブロックの割合 $(1-\phi)$ で構成される。両者は外部のせん断速度 $\dot{\gamma}$ の影響を受ける。
• 応力-ひずみ関係： 受動的ブロックは、降伏応力 $\sigma_{0,c}$ に達するまで標準的な弾性応答（$\sigma = G_0 \gamma$）に従う。能動的ブロックは、応力に対して反対の応力応答（$\sigma = G_1 \gamma$、ただし $G_1 < 0$）を示し、これは応力に対して収縮するジャンクション（接合部）の挙動をモデル化している。
• 動力学： 応力の確率分布 $P_k(\sigma, t)$（$k=0$ は受動、$k=1$ は能動）の進化は、フォッカー・プランク方程式によって記述される。これには、弾性負荷による移流、応力再分配による機械的ノイズを表す拡散項 $D(t)$、および、局所的な降伏応力を超えたブロックが除去されリセットされる降伏項が含まれる。
• 自己整合性： 拡散係数は、塑性活動 $\Gamma(t)$ を介して $D(t) = \alpha \Gamma(t)$ として結合されており、$\alpha$ は降伏応力材料から流体への転移を制御する無次元パラメータである。また、モデルは降伏後に残る残留能動応力 $\sigma_R$ の影響についても検討している。
• 解法： 著者らは定常解（$\partial_t P_k = 0$）を求め、マクロな応力 $\langle \sigma \rangle$ および降伏応力を、せん断速度、能動的割合、および応力拡散パラメータの関数として導出する。

主な貢献と結果

1. 非単調な流動曲線： 反対の応力応答を持つ能動的要素の導入は、レオロジーを根本的に変化させる。モデルは、低 $\dot{\gamma}$ ではマクロな応力がせん断速度と逆向きになり、高 $\dot{\gamma}$ では同方向になるという、非単調な流動曲線を予測する。このクロスオーバー挙動は、収束・伸長の特性である。
2. 負の降伏応力と粘性： 能動的要素の割合がある閾値を超えると、システムは負の降伏応力および負の初期有効粘性（$\eta_0$）を示す。これは、能動的割合と降伏応力の差（$\sigma_{1,c} - \sigma_{0,c}$）との競合において、低せん断速度で能動的応答が優位になる場合に発生する。
3. 相図： 著者らは、$(\phi, \alpha)$ パラメータ空間を7つの明確な相に分類した。
   • 受動的（P）： すべてのせん断速度において単調な正の応力を示す。
   • 降伏応力（Y）対 流体（F）： 臨界 $\alpha_c$ によって分離される。
   • ターンオーバー（T）相： 応力または粘性が符号を変える非単調な挙動を示す領域（YT+, YT-, FT）。
   • バックワーズ（B）相： 主に能動的なシステム（$\phi > 0.5$）であり、すべてのせん断速度において応力と勾配が負のままとなる。
4. 残留能動応力： 非ゼロの残留応力 $\sigma_R$ を組み込むことで、応力-せん断速度関係の対称性が破れる。これにより、以下のことが生じる：
   • 有効降伏閾値の低下による流動化の促進。
   • 流体相におけるゼロせん断速度での有限なマクロ応力。
   • 流動曲線の非対称性（ヒステリシス様の挙動）であり、応力と粘性はせん断速度の極限の方向（$0^+$ 対 $0^-$）に依存する。

意義と主張
本論文は、この二成分平均場モデルが、生物学的収束・伸長に見られる特異なレオロジー的特徴、すなわち「低レートでは加えられた応力に対して反対に降伏するが、高レートでは受動的な挙動を回復する」という能力を再現できると主張している。著者らは、これらの特徴はメタマテリアルの特性であるが、生物学的システムは動的に自身の機械的構造を再編成し再構築する独自の能力を持っていることを強調している。

本研究は、能動的要素による能動的レオロジーが、原始線条（primitive streak）の形成や、空間的に制御されたジャミング／アンジャミング転移のような、発生学的パターニングの新たな駆動源となり得ることを示唆している。著者らは、本研究を能動的要素の豊かな現象論を理解するための基礎的な一歩として位置づけている。モデルは意図的に単純であるが、これは「独自の（build your own）」レオロジー応答を設計するためのロードマップを提供しており、組織の力学を模倣した自律的に再構成される液体エンジンへとつながる可能性がある。本論文は、特定の生物学的実験に直接対応することを主張しているのではなく、主要なパラメータ（弾性率、降伏応力、タイムスケール）が生物学的スケール（例：$\sim 1$ kPa の応力、$\sim 15$ 分のT1タイムスケール）にマッピング可能であることを示している。