Testing for a common subspace in compositional datasets with structural zeros

技术摘要：具有结构零的成分型数据集中的共同子空间检验

问题陈述
本文针对成分数据分析（CoDA）中的一个特定挑战进行了研究：即在两组成分数据具有不同结构零（structural zeros）模式时，如何检验它们是否存在共同的主成分子空间。结构零代表了现象的真实缺失（例如，某一特定身体部位不存在某种细菌门类），这与计数零或舍入零不同。

标准的 CoDA 方法（如基于对数比变换 [clr, ilr] 的主成分分析 [PCA]）要求数据严格为正。因此，带有结构零的数据集通常根据其零模式被拆分为不同的子样本，并分别进行 PCA。然而，这种方法无法直接比较由此产生的不同主成分子空间，因为变换后的数据存在于不同的维数向量空间中（$\mathbb{R}^{D-Q_1-1}$ vs. $\mathbb{R}^{D-Q_2-1}$）。现有的比较主成分子空间的方法（例如 Flury 的 CPC 模型或 Schott 的检验）都假设数据位于相同的欧几里得空间中，而这一假设在存在结构零的情况下被破坏了。

方法论
作者提出了一个统计框架，用于检验两个具有不同结构零模式的成分亚群 $Y$ 和 $Z$ 共享大小为 $K$ 的共同主成分子空间的零假设（$H_0$）。

1. 几何框架：

   • 数据集被划分为两组，$Y$ 含有 $Q_1$ 个结构零，$Z$ 含有 $Q_2$ 个结构零。
   • 作者对每组的非零部分应用**等距对数比（ilr）**变换。至关重要的是，他们利用了一种特定的“后向枢轴”（backward pivot）坐标系，在该系统中，前 $M-1$ 个分量（其中 $M$ 是共同非零部分的数量）不受另一组结构零的影响。
   • 为了比较子空间，作者定义了线性规范包含算子（$\iota_Y$ 和 $\iota_Z$），通过在对应于结构零位置处填充零，将来自缩减空间（$\mathbb{R}^{D-Q_1-1}$ 和 $\mathbb{R}^{D-Q_2-1}$）的特征向量映射到一个共同的赋存空间 $\mathbb{R}^{D-1}$ 中。

2. 检验统计量：

   • 受 Schott (1988) 的启发，作者定义了一个基于变换后数据的样本协方差矩阵（$\hat{\Omega}_Y, \hat{\Omega}_Z$）的特征值以及通过包含算子构建的合并协方差矩阵的特征值的检验统计量 $T$。
   • $T = \sum_{i=1}^K \left( (n_y - 1)\hat{\alpha}_i + (n_z - 1)\hat{\beta}_i - \hat{\gamma}_i \right)$，其中 $\hat{\alpha}, \hat{\beta}$ 是各组的特征值，$\hat{\gamma}$ 是合并矩阵的特征值。

3. 推断程序：

   • 参数化方法： 假设数据在单纯形上服从正态分布（对数比正态性），作者推导了 $T$ 的零分布的解析近似。该分布被近似为一个缩放的卡方分布，$T \sim \frac{\sigma_T^2}{2\mu_T} \chi^2_{\frac{2\mu_T^2}{\sigma_T^2}}$，其中参数 $\mu_T$ 和 $\sigma_T^2$ 是总体特征值和特征向量的函数。这些参数使用样本统计量进行估计。
   • 非参数化方法： 针对分布假设不成立的情况，引入了自助法（bootstrap）程序。这涉及旋转数据集以使其在零假设下对齐其主成分子空间，进行有放回的重采样，并计算经验 p 值。

关键结果
通过模拟研究和实际数据应用评估了所提方法的有效性：

• 模拟研究：

  • 高斯数据： 在对数比正态性条件下，参数检验（使用 Schott 公式）通常达到了最接近名义 5% 水平的第 I 类错误率，并表现出最高的功效。自助法检验的表现也相当。
  • 重尾数据（Student's t）： 当数据采样自多元 Student's t 分布（低自由度）时，参数化的 Schott 检验变得过于激进（第 I 类错误率过高）。相比之下，自助法检验在控制第 I 类错误方面表现更好，并且比估计的参数版本具有更高的功效。
  • 均匀分布数据： 参数化检验被发现过于保守（第 I 类错误率 < 0.05），而自助法检验则能将错误率维持在接近名义水平的状态。
  • 样本量： 对于小样本量，自助法程序比估计的参数检验表现出更优越的性能。

• 实际数据应用（人类微生物组计划）：

  • 该方法应用于在不同身体部位聚合的门（phylum）水平的 16S rRNA 测序数据。
  • 比较 1（右肘窝 vs. 前鼻孔）： 未拒绝共同子空间（$K=1, 2$）的零假设。在此比较中，$Q_1=0$（右肘窝没有结构零）且 $Q_2=4$（前鼻孔有 4 个结构零门类）。分析确定了蓝细菌门（Cyanobacteria）和拟杆菌门（Fusobacteria）是该共享子空间的主要贡献者，这由它们的稀疏存在/缺失模式驱动。
  • 比较 2（粪便 vs. 唾液）： 针对所有测试的 $K$，均拒绝了零假设，证实了这些部位在门水平的组成上并不共享共同的主成分子空间。

意义与贡献
本文声称将共同主成分子空间假设检验框架（特别是对 Schott, 1988 的扩展）推广到了具有结构零的复杂成分数据设置中。其主要贡献在于：

1. 几何兼容性： 该方法允许比较具有不同零模式的组之间的主成分子空间，同时保持与 Aitchison 几何和对数比分析的完全兼容，避免了零替换策略的缺陷。
2. 稳健推断： 引入的非参数自助法程序为对数比正态性假设失效（这在现实世界的微生物组和组学数据中是一个常见问题）时提供了稳健的替代方案。
3. 实用价值： 对微生物组数据的应用展示了该方法在尽管存在不同的结构零模式的情况下，识别不同解剖部位间共享生物特征（共同子空间）的能力，为高通量成分数据集的分层和分类研究提供了工具。

作者得出结论，虽然参数检验在正态性条件下有效，但在存在重尾或小样本量的情况下，自助法提供了一个更可靠且更强大的替代方案，使其成为分析复杂成分数据集的有力工具。