Testing for a common subspace in compositional datasets with structural zeros

技術要約：構造的ゼロを伴う組成データセットにおける共通部分空間の検定

問題提起
本論文は、組成データ解析（CoDA）における特定の課題、すなわち、異なる**構造的ゼロ（structural zeros）**のパターンを持つ2つのグループ間の共通主部分空間の存在を検定する問題に取り組んでいる。構造的ゼロとは、カウントや丸めによるゼロとは異なり、現象の真の不在（例：特定の生体部位には存在しない細菌門）を表すものである。

ilr（等長対数比）変換を用いた主成分分析（PCA）などの標準的なCoDAの手法は、厳密に正の値を持つデータを必要とする。そのため、構造的ゼロを含むデータセットは通常、ゼロのパターンに基づいてサブサンプルに分割され、個別にPCAが行われる。しかし、このアプローチは、結果として得られる主部分空間を直接比較することを妨げる。なぜなら、変換されたデータは異なる次元のベクトル空間（$\mathbb{R}^{D-Q_1-1}$ 対 $\mathbb{R}^{D-Q_2-1}$）に存在するからである。既存の主部分空間比較手法（FluryのCPCモデルやSchottの検定など）は、データが同一のユークリッド空間に存在することを前提としているが、構造的ゼロが存在する場合、この仮定は崩れる。

手法
著者らは、異なる構造的ゼロのパターンを持つ2つの組成的部分集合 $Y$ と $Z$ が、サイズ $K$ の共通主成分部分空間を共有するという帰無仮説（$H_0$）を検定するための統計的枠組みを提案している。

1. 幾何学的枠組み:

   • データセットは、$Y$ が $Q_1$ 個の構造的ゼロを持ち、$Z$ が $Q_2$ 個の構造的ゼロを持つ、2つのグループに分割される。
   • 著者らは、非ゼロ部分に対して**等長対数比（ilr）**変換を適用する。極めて重要な点として、構造的ゼロの影響を受けない「バックワード・ピボット（backward pivot）」座標系を利用する（ここで、$M$ は共通の非ゼロ部分の数である）。これにより、最初の $M-1$ 個の成分は、もう一方のグループの構造的ゼロの影響を受けない。
   • 部分空間を比較するために、著者らは線形正準包含演算子（canonical inclusion operators）（$\iota_Y$ および $\iota_Z$）を定義する。これは、減少した空間（$\mathbb{R}^{D-Q_1-1}$ および $\mathbb{R}^{D-Q_2-1}$）の固有ベクトルを、構造的ゼロの位置に対応するゼロでパディングすることにより、共通の周囲空間 $\mathbb{R}^{D-1}$ へと写像するものである。

2. 検定統計量:

   • Schott (1988) に着想を得て、著者らは、変換されたデータの標本共分散行列（$\hat{\Omega}_Y, \hat{\Omega}_Z$）および包含演算子を通じて構築されたプールされた共分散行列の固有値に基づく検定統計量 $T$ を定義する。
   • $T = \sum_{i=1}^K \left( (n_y - 1)\hat{\alpha}_i + (n_z - 1)\hat{\beta}_i - \hat{\gamma}_i \right)$ である。ここで、$\hat{\alpha}, \hat{\beta}$ は各グループの固有値であり、$\hat{\gamma}$ はプールされた行列の固有値である。

3. 推論手順:

   • パラメトリック・アプローチ: データがシンプレックス上で正規分布に従う（対数比正規性）と仮定した場合、著者らは $T$ の帰無分布に対する解析的な近似を導出する。この分布は、スケーリングされたカイ二乗分布 $T \sim \frac{\sigma_T^2}{2\mu_T} \chi^2_{\frac{2\mu_T^2}{\sigma_T^2}}$ によって近似される。ここで、パラメータ $\mu_T$ および $\sigma_T^2$ は母集団の固有値と固有ベクトルからなる関数であり、これらは標本統計量を用いて推定される。
   • ノンパラメトリック・アプローチ: 分布の仮定が成立しない場合のために、ブートストラップ法が導入されている。これは、帰無仮説の下で主部分空間を一致させるようにデータセットを回転させ、重複を許して再サンプリングを行い、経験的p値を算出するプロセスである。

主な結果
提案された手法の妥当性は、シミュレーション研究および実データへの適用を通じて評価された。

• シミュレーション研究:

  • ガウス型データ: 対数比正規性の下では、パラメトリック検定（Schottの公式を使用）が一般に、第I種の誤り率が公称レベルの5%に最も近く、かつ最高の検出力を示した。ブートストラップ検定も同等の性能を示した。
  • 太い裾を持つデータ（Studentのt分布）: データが多変量Studentのt分布（低い自由度）からサンプリングされた場合、パラメトリックなSchott検定は過度にリベラル（第I種の誤りが高い）になった。対照的に、ブートストラップ検定は第I種の誤りの制御において優れた性能を維持し、推定されたパラメトリック版よりも高い検出力を示した。
  • 一様分布データ: パラメトリック検定は保守的すぎる傾向があった（第I種の誤り < 0.05）。一方で、ブートストラップ検定は公称レベルに近い誤り率を維持した。
  • サンプルサイズ: ブートストラップ手順は、小標本の場合において、推定されたパラメトリック検定よりも優れた性能を示した。

• 実データへの適用（ヒト・マイクロバイオーム・プロジェクト）:

  • 本手法は、異なる生体部位における門（phylum）レベルで集計された16S rRNAシーケンシングデータに適用された。
  • 比較1（右前腕窩 vs 前鼻腔）: 共通の部分空間（$K=1, 2$）という帰無仮説は棄却されなかった。この比較では、$Q_1=0$（右前腕窩には構造的ゼロがない）であり、$Q_2=4$（前鼻腔には4つの構造的ゼロとなる門がある）であった。この分析により、Cyanobacteria と Fusobacteria が、この共有された部分空間の主要な寄与因子であることが特定された。これは、それらの希薄な存在・不在パターンに起因する。
  • 比較2（糞便 vs 唾液）: 帰無仮説は、テストされたすべての $K$ に対して棄却された。これは、これらの部位が門レベルの組成において共通の主部分空間を共有していないことを裏付けている。

意義と貢献
本論文は、共通の主部分空間に関する仮説検定の枠組み（具体的にはSchott, 1988の拡張）を、構造的ゼロを伴う組成データの複雑な設定へと一般化したことを主張している。主な貢献は以下の通りである。

1. 幾何学的適合性: 本手法は、ゼロ置換戦略の欠点を回避しながら、Aitchisonの幾何学および対数比分析と完全に互換性を保ちつつ、異なるゼロパターンを持つグループ間での主部分空間の比較を可能にする。
2. ロバストな推論: ノンパラメトリックなブートストラップ手順の導入により、対数比正規性の仮定が崩れた場合（マイクロバイオームやオミクスデータでよく見られる問題）の強力な代替手段を提供する。
3. 実用的な有用性: マイクロバイオームデータへの適用は、異なる構造的ゼロのパターンが存在するにもかかわらず、異なる解剖学的部位間で共有された生物学的特性（共通部分空間）を特定できる本手法の能力を示しており、高スループットな組成データにおける層別化や分類研究のためのツールを提供する。

著者らは、パラメトリック検定は正規性の下では効果的であるが、太い裾を持つ分布や小標本の状況においては、ブートストラップ・アプローチの方がより信頼性が高く強力な代替手段となることを結論付けており、複雑な組成データの分析において価値のあるツールであることを示している。