Identities and inequalities for integral transforms involving squares of the Bessel functions

技术摘要：涉及贝塞尔函数平方的积分变换的恒等式与不等式

问题陈述
本文研究了由下式定义的积分变换 $T_\nu$：
$$T_\nu f(s) := \pi \int_0^\infty rs J_\nu(rs)^2 f(r) \, dr,$$
其中 $J_\nu$ 是阶数为 $\nu \in [-1/2, \infty)$ 的第一类贝塞尔函数。该变换对于研究自由薛定谔方程在 $\mathbb{R}^d$ 上 Kato–Yajima 平滑估计中最优常数的研究至关重要。具体而言，不等式
$$\int_{\mathbb{R}^d \times \mathbb{R}} w(|x|) |\psi(|\nabla|) e^{it\Delta} u_0(x)|^2 \, dx \, dt \le C \|u_0\|_{L^2(\mathbb{R}^d)}^2$$
中的最优常数 $C_S^{(d)}(w, \psi)$ 由 $s^{-1}\psi(s)^2 T_{k+d/2-1}w(s)$ 在 $k \in \mathbb{N}$ 和 $s > 0$ 上的上确界决定。

虽然 Bez、Saito 和 Sugimoto 此前的研究已经建立了将 $T_{k+d/2-1}$ 与 Hankel 变换 $H_{d/2-1}$ 联系起来的恒等式（针对整数指数 $k$ 和维度 $d$），但要在非整数指数下扩展这些恒等式，并推导不限于整数阶的 $T_\nu$ 的一般不等式，仍存在研究空白。本文旨在将这些恒等式扩展到任意指数，并利用它们建立 $T_\nu$ 的单调性性质和不等式。

方法论
作者结合了积分变换理论、特殊函数恒等式和测度论论证。

1. 恒等式的扩展： 核心方法论创新在于将恒等式 $T_{k+d/2-1}f = U_{k,d/2-1}H_{d/2-1}f$（此前已知于整数 $k$）扩展到任意指数。这是通过引入第二类 Gegenbauer 函数 $D_\mu^{(\nu)}$ 来定义一个广义积分算子 $U_{\mu,\nu}$，其核函数 $K_{\mu,\nu}(r,s)$ 在 $\mu \notin \mathbb{N}$ 时对于 $r > 2s$ 非零。
2. Hankel 变换分析： 证明广义恒等式的依据是计算核函数 $g_{\mu,\nu,s}(r) = \pi s r^{-2\nu} J_{\mu+\nu}(rs)^2$ 的 Hankel 变换。该计算利用了涉及三个贝塞尔函数乘积积分的 Macdonald 公式，将结果表示为勒让德函数（Legendre functions），随后将其转换为 Gegenbauer 函数。
3. Parseval 恒等式： 利用 Hankel 变换的 Parseval 恒等式来确立恒等式 $T_{\mu+\nu}f = U_{\mu,\nu}H_\nu f$ 的有效性，从而确保函数及其变换所需的可积条件。
4. 单调性与不等式： 通过分析核函数 $K_{\mu,\nu}(r,s)$，作者推导出了逐点不等式（例如 $K_{\mu,\nu} \le K_{0,\nu}$），当结合 Hankel 变换 $H_\nu f$ 的非负性时，可得到 $T_\nu f$ 的不等式。
5. 完全单调性： 本文利用了 Bernstein–Widder 和 Schoenberg 定理，这些定理刻画了使得 $r \mapsto f(r^{1/2})$ 为完全单调的函数是高斯函数的叠加。这使得通过对 Borel 测度进行积分，可以将从高斯情形得到的结果扩展到更广泛的函数类。

主要贡献与结果

• 广义恒等式 (Theorem 1.6(I))： 本文证明了对于 $\mu \in [0, \infty)$，$\nu \in (-1/2, \infty)$ 及合适的 $f$，恒等式 $T_{\mu+\nu}f(s) = U_{\mu,\nu}H_\nu f(s)$ 成立。这推广了此前仅限于整数偏移指数的结果。
• 单调性与不等式 (Theorem 1.6(II)–(V))：
  • 若 $H_\nu f$ 是非负的，则当 $\nu \ge 1/2$ 时，$s \mapsto T_\nu f(s)$ 是非减的。
  • 和式 $T_\nu f(s) + T_{\nu+1} f(s)$ 在 $\nu > -1/2$ 时是非减的。
  • 对于 $\mu \in \mathbb{N}_{\ge 1}$ 或 $\mu \in (0, 1]$（且满足 $\mu+2\nu \ge 0$），若 $H_\nu f$ 是非负的，则 $T_{\mu+\nu}f(s) \le T_\nu f(s)$。
• 在平滑估计中的应用 (Theorem 1.5)： 利用不等式 $T_{d/2-1/2}w \le T_{d/2-1}w$（由 Theorem 1.6(V) 中 $\mu=1/2$ 导出），作者证明了如果空间权重 $w$ 的傅里叶变换在 $\mathbb{R}^d$ 和 $\mathbb{R}^{d+1}$ 上均为非负，那么平滑估计的最优常数满足 $C_S^{(d+1)}(w, \psi) \le C_S^{(d)}(w, \psi)$。这为最优常数的降维性质提供了充分条件，涵盖了引言中提到的情形 (A)、(B) 和 (C)。
• 解析性与完全单调性 (Theorem 1.8)： 对于满足 $r \mapsto f(r^{1/2})$ 为完全单调函数的 $f$，本文证明了：
  • $s \mapsto s^{-\nu-1/2}T_\nu f(s^{1/2})$ 是完全单调的。
  • $s \mapsto T_\nu f(s)$ 在 $\nu \ge 1/2$ 时是严格递增的。
  • $s \mapsto T_\nu f(s) + T_{\nu+1} f(s)$ 是严格递增的。
  • $\nu \mapsto T_\nu f(s)$ 在 $\nu \ge 0$ 时是严格递减的。
  • 对于 $\nu \in (-1/2, 0)$，$T_{-\nu}f(s) < T_\nu f(s)$。
    这些结果意味着对于一类权重（与完全单调函数相关的权重），$T_\nu f$ 在 $(0, \infty)$ 上是解析的，这对平滑估计中极值点的非存在性具有意义。
• 具体实例： 本文将这些定理应用于导出关于修正贝塞尔函数 $I_\nu$ 和 $K_\nu$ 已知性质的新证明，例如 $s^{-\nu}e^{-s}I_\nu(s)$ 的完全单调性和 $s I_\nu(s)K_\nu(s)$ 的单调性。
• 扩展： 将结果扩展到 $\nu = -1/2$ 的情况 (Proposition 4.1) 以及 Dirac 方程 (Theorem 4.3)，展示了在这些语境下最优常数具有类似的降维性质。

意义

本文声称提供了一个统一的框架，用于理解积分变换 $T_\nu$ 在非整数指数下的行为。通过将连接 $T_\nu$ 与 Hankel 变换的恒等式进行扩展，作者推导出了一系列此前仅在特定整数情形下已知或需要不同方法的不等式。

其主要意义在于：

1. 泛化性： 将恒等式 $T_{k+d/2-1} = U_{k,d/2-1}H_{d/2-1}$ 扩展到任意实指数，从而消除了在分析平滑估计时对整数维度或阶数的限制。
2. 最优常数： 为最优平滑常数随维度单调性（即 $C_S^{(d+1)} \le C_S^{(d)}$）提供了一个严谨的充分条件（傅里叶变换非负性），涵盖了广泛的情况。
3. 解析性： 确立了对于一类权重（与完全单调函数相关的权重）$T_\nu f$ 的解析性，这支持了平滑估计中极值点不存在性的结论。
4. 统一性： 证明了各种已知的贝塞尔函数不等式和单调性性质（如涉及 $I_\nu$ 和 $K_\nu$ 的性质）都是 $T_\nu$ 变换的一般性质以及输入函数完全单调性的直接结果。

作者指出，尽管某些特定不等式（如例 3.2 中所述）是已知的，但此处提供的证明是全新的，且源于广义恒等式，提供了一种更直接且统一的方法。