Identities and inequalities for integral transforms involving squares of the Bessel functions

Résumé technique : Identités et inégalités pour les transformées intégrales impliquant les carrés des fonctions de Bessel

Énoncé du problème
Cet article étudie la transformée intégrale $T_\nu$ définie par
$$T_\nu f(s) := \pi \int_0^\infty rs J_\nu(rs)^2 f(r) \, dr,$$
où $J_\nu$ est la fonction de Bessel de première espèce d'ordre $\nu \in [-1/2, \infty)$. Cette transformée est centrale dans l'étude des constantes optimales pour les estimations de lissage de Kato–Yajima pour l'équation de Schrödinger libre sur $\mathbb{R}^d$. Plus précisément, la constante optimale $C_S^{(d)}(w, \psi)$ pour l'inégalité
$$\int_{\mathbb{R}^d \times \mathbb{R}} w(|x|) |\psi(|\nabla|) e^{it\Delta} u_0(x)|^2 \, dx \, dt \le C \|u_0\|_{L^2(\mathbb{R}^d)}^2$$
est déterminée par le supremum de $s^{-1}\psi(s)^2 T_{k+d/2-1}w(s)$ sur $k \in \mathbb{N}$ et $s > 0$.

Alors que des travaux antérieurs de Bez, Saito et Sugimoto ont établi une identité reliant $T_{k+d/2-1}$ à la transformée de Hankel $H_{d/2-1}$ pour des indices entiers $k$ et des dimensions $d$, une lacune subsistait quant à l'extension de ces identités aux indices non entiers et à la dérivation d'inégalités générales pour $T_\nu$ sans restreindre les ordres à des valeurs entières. L'article vise à étendre ces identités à des indices arbitraires et à utiliser ces extensions pour établir des propriétés de monotonie et des inégalités pour la transformée.

Méthodologie
L'auteur emploie une combinaison de la théorie des transformées intégrales, d'identités de fonctions spéciales et d'arguments de théorie de la mesure.

1. Extension des identités : L'innovation méthodologique centrale est l'extension de l'identité $T_{k+d/2-1}f = U_{k,d/2-1}H_{d/2-1}f$ (précédemment connue pour $k$ entier) à des indices arbitraires. Cela est réalisé en introduisant la fonction de Gegenbauer de seconde espèce, $D_\mu^{(\nu)}$, afin de définir un opérateur intégral généralisé $U_{\mu,\nu}$ doté d'un noyau $K_{\mu,\nu}(r,s)$ qui est non nul pour $r > 2s$ lorsque $\mu \notin \mathbb{N}$.
2. Analyse de la transformée de Hankel : La preuve de l'identité généralisée repose sur le calcul de la transformée de Hankel de la fonction noyau $g_{\mu,\nu,s}(r) = \pi s r^{-2\nu} J_{\mu+\nu}(rs)^2$. Ce calcul de la transformée de Hankel utilise la formule de Macdonald pour les intégrales impliquant des produits de trois fonctions de Bessel, exprimant le résultat en termes de fonctions de Legendre, puis convertissant ces dernières en fonctions de Gegenbauer.
3. Identité de Parseval : La validité de l'identité $T_{\mu+\nu}f = U_{\mu,\nu}H_\nu f$ est établie en utilisant l'identité de Parseval pour la transformée de Hankel, garantissant les conditions d'intégrabilité nécessaires pour les fonctions et leurs transformées.
4. Monotonie et inégalités : En analysant le noyau $K_{\mu,\nu}(r,s)$, l'auteur dérive des inégalités ponctuelles (par exemple, $K_{\mu,\nu} \le K_{0,\nu}$) qui, combinées à la non-négativité de la transformée de Hankel $H_\nu f$, produisent des inégalités pour $T_\nu f$.
5. Monotonie complète : L'article s'appuie sur les théorèmes de Bernstein–Widther et de Schoenberg, qui caractérisent les fonctions $f$ telles que $r \mapsto f(r^{1/2})$ est complètement monotone comme étant des superpositions de gaussiennes. Cela permet d'étendre les résultats du cas gaussien à une classe plus large de fonctions via l'intégration par rapport à une mesure de Borel.

Contributions clés et résultats

• Identité généralisée (Théorème 1.6(I)) : L'article établit que pour $\mu \in [0, \infty)$, $\nu \in (-1/2, \infty)$ et $f$ appropriée, l'identité $T_{\mu+\nu}f(s) = U_{\mu,\nu}H_\nu f(s)$ est vérifiée. Ceci généralise les résultats précédents restreints aux décalages entiers de l'indice.
• Monotonie et inégalités (Théorèmes 1.6(II)–(V)) :
  • Si $H_\nu f$ est non négative, $s \mapsto T_\nu f(s)$ est croissante pour $\nu \ge 1/2$.
  • La somme $T_\nu f(s) + T_{\nu+1} f(s)$ est croissante pour $\nu > -1/2$.
  • Pour $\mu \in \mathbb{N}_{\ge 1}$ ou $\mu \in (0, 1]$ (avec $\mu+2\nu \ge 0$), si $H_\nu f$ est non négative, alors $T_{\mu+\nu}f(s) \le T_\nu f(s)$.
• Application aux estimations de lissage (Théorème 1.5) : En utilisant l'inégalité $T_{d/2-1/2}w \le T_{d/2-1}w$ (dérivée du Théorème 1.6(V) avec $\mu=1/2$), l'auteur prouve que si les transformées de Fourier d'un poids spatial $w$ sont non négatives sur $\mathbb{R}^d$ et $\mathbb{R}^{d+1}$, alors la constante optimale pour l'estimation de lissage satisfait $C_S^{(d+1)}(w, \psi) \le C_S^{(d)}(w, \psi)$. Cela fournit une condition suffisante pour la propriété de décroissance de la constante optimale selon la dimension, couvrant les cas (A), (B) et (C) mentionnés dans l'introduction.
• Analyticité et monotonie complète (Théorème 1.8) : Pour les fonctions $f$ où $r \mapsto f(r^{1/2})$ est complètement monotone, l'article prouve que :
  • $s \mapsto s^{-\nu-1/2}T_\nu f(s^{1/2})$ est complètement monotone.
  • $s \mapsto T_\nu f(s)$ est strictement croissante pour $\nu \ge 1/2$.
  • $s \mapsto T_\nu f(s) + T_{\nu+1} f(s)$ est strictement croissante.
  • $\nu \mapsto T_\nu f(s)$ est strictement décroissante pour $\nu \ge 0$.
  • $T_{-\nu}f(s) < T_\nu f(s)$ pour $\nu \in (-1/2, 0)$.
    Ces résultats impliquent l'analyticité de $T_\nu f$ sur $(0, \infty)$, ce qui a des implications pour la non-existence d'extrema pour les estimations de lissage.
• Exemples spécifiques : L'article applique ces théorèmes pour dériver de nouvelles preuves de propriétés connues des fonctions de Bessel modifiées $I_\nu$ et $K_\nu$, telles que la monotonie complète de $s^{-\nu}e^{-s}I_\nu(s)$ et la monotonie de $s I_\nu(s)K_\nu(s)$.
• Extensions : Les résultats sont étendus au cas $\nu = -1/2$ (Proposition 4.1) et aux équations de Dirac (Théorème 4.3), montrant des propriétés analogues de décroissance de la constante optimale selon la dimension dans ces contextes.

Signification
L'article prétend fournir un cadre unifié pour comprendre le comportement de la transformée intégrale $T_\nu$ à travers des indices non entiers. En étendant l'identité reliant $T_\nu$ à la transformée de Hankel, l'auteur dérive une suite d'inégalités qui n'étaient auparavant connues que pour des cas entiers spécifiques ou nécessitaient des méthodes différentes.

La signification primaire réside dans :

1. Généralisation : L'extension de l'identité $T_{k+d/2-1} = U_{k,d/2-1}H_{d/2-1}$ à des indices réels arbitraires, supprimant ainsi la restriction aux dimensions ou ordres entiers dans l'analyse des estimations de lissage.
2. Constantes optimales : Fournir une condition suffisante rigoureuse (non-négativité des transformées de Fourier) pour la monotonie des constantes optimales de lissage par rapport à la dimension, prouvant spécifiquement $C_S^{(d+1)} \le C_S^{(d)}$ sous des conditions larges.
3. Analyticité : Établir l'analyticité de $T_\nu f$ pour une large classe de poids (ceux liés à des fonctions complètement monotones), ce qui soutient la non-existence d'extrema pour les estimations de lissage.
4. Unification : Démontrer que diverses inégalités et propriétés de monotonie connues des fonctions de Bessel (impliquant $I_\nu$ et $K_\nu$) sont des conséquences directes des propriétés générales de la transformée $T_\nu$ et de la monotonie complète de la fonction d'entrée.

L'auteur note que bien que certaines inégalités spécifiques (comme celles de l'exemple 3.2) soient connues, les preuves fournies ici sont nouvelles et découlent de l'identité généralisée, offrant une approche plus directe et unifiée.