Analysis of a finite element method for second order uniformly elliptic PDEs in non-divergence form

以下是吴文峰（Weifeng Qiu）论文《非散度形式二阶一致椭圆偏微分方程有限元方法分析》的详细技术总结。

1. 问题陈述

本文针对定义在 Lipschitz 多面体区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$（$d=2, 3$）上的两类二阶偏微分方程（PDE）的数值分析：

1. 非散度形式的线性椭圆 PDE：
   $$A : D^2u + b \cdot \nabla u + cu = f \quad \text{in } \Omega, \quad u = 0 \text{ on } \partial\Omega$$
   其中 $A$ 是对称且一致正定的矩阵，$b, c$ 为有界系数。

2. 一致椭圆 Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程：
   $$\sup_{\alpha \in \Lambda} [A_\alpha : D^2u + b_\alpha \cdot \nabla u + c_\alpha u - f_\alpha] = 0 \quad \text{in } \Omega, \quad u = 0 \text{ on } \partial\Omega$$
   其中 $\Lambda$ 为指标集，系数满足一致椭圆性和有界性条件。

关键挑战：

• 非散度形式： 标准的弱形式（基于分部积分）无法直接应用，因为二阶项 $A:D^2u$ 若不对 $A$ 或区域的正则性做高要求，则难以转移到测试函数上。
• 解空间： 分析聚焦于 Sobolev 空间 $W^{2,p}(\Omega)$ 中的强解，而非粘性解。
• 区域几何： 本文旨在处理Lipschitz 多面体区域，包括二维中的非凸多边形，这比现有文献中常要求的 $C^{1,1}$ 或凸区域更为通用。
• 系数正则性： 该方法必须能够处理不连续系数（特别是针对 HJB 方程），同时保持最优收敛率。

2. 方法论

作者提出了一种统一的有限元方法（FEM），适用于线性 PDE 和 HJB 方程。

A. 离散化与算子

• 网格： 拟一致、单纯形、共形三角剖分 $\mathcal{T}_h$。
• 有限元空间： $V_h = H^1_0(\Omega) \cap P_r(\mathcal{T}_h)$，多项式次数 $r \geq 2$。
• 离散梯度（$\nabla_h$）： 该方法利用特定的离散梯度算子，通过在网格单元上分部积分及内部面上的跳跃项来定义。该算子允许在不需要基函数具有 $C^1$ 连续性的情况下近似 Hessian 矩阵 $D^2u$。
  $$(\nabla_h v)_i = \partial_{h, x_i} v$$
• 权重函数： 为处理非散度形式，方程乘以权重函数 $\gamma$（对于 HJB 方程则为 $\gamma_\alpha$）。
  • 对于线性情形：$\gamma(x) = \frac{\text{Tr} A(x)}{|A(x)|^2}$。
  • 这将方程转化为适合离散算子的形式：$\tilde{A} : D^2 u + \dots = \tilde{f}$。

B. 数值格式

• 线性情形（公式 14）： 寻找 $u_h \in V_h$，使得对所有 $v_h \in V_h$ 满足：
  $$\int_\Omega (\tilde{A} : \nabla_h(\nabla u_h) + \tilde{b} \cdot \nabla u_h + \tilde{c} u_h) v_h \, dx = \int_\Omega \tilde{f} v_h \, dx$$
• HJB 情形（公式 16）： 寻找 $u_h \in V_h$，使得对所有 $v_h \in V_h$ 满足：
  $$\left( \sup_{\alpha \in \Lambda} \gamma_\alpha [A_\alpha : \nabla_h(\nabla u_h) + b_\alpha \cdot \nabla u_h + c_\alpha u_h - f_\alpha], v_h \right)_\Omega = 0$$
  注： 若 $\Lambda$ 仅含单个元素，HJB 格式精确退化为线性格式。

C. 分析框架

分析依赖于定义的离散 $W^{2,p}$ 范数：
$$\|v\|_{W^{2,p}_h(\Omega)} = \|D^2_h v\|_{L^p(\Omega)} + \left( \sum_{F \in \mathcal{F}_h^I} h_F^{1-p} \|\llbracket \nabla v \rrbracket\|_{L^p(F)}^p \right)^{1/p}$$
关键分析工具包括：

1. 全局 $W^{2,p}$ 估计： 证明 Lipschitz 多面体上连续问题强解的适定性。
2. 离散紧性： 建立离散 $W^{2,p}_h$ 范数下有界序列在 $W^{1,p}$ 中具有收敛子序列的性质。
3. 唯一性论证： 利用强解的唯一性，通过反证法证明稳定性（避免了以往工作中使用的特殊对偶论证）。
4. 上确界的可测性： 针对 HJB 方程，证明指标集 $\Lambda$ 上的上确界是可测的，且可由可数子集 $\tilde{\Lambda}$ 逼近（假设 6）。

3. 主要贡献

A. 统一框架

本文证明，单一的有限元格式可有效求解线性非散度 PDE 和完全非线性 HJB 方程。当指标集为单元素集时，HJB 格式自然退化为线性格式。

B. 放宽区域与系数假设

• 区域： 分析将最优收敛结果从 $C^{1,1}$ 或严格凸区域扩展到Lipschitz 多面体区域。
  • 对于 $d=3$，$\Omega$ 必须为凸集。
  • 对于 $d=2$，$\Omega$ 可以是非凸的（对 $p$ 有限制）。
• 系数： 该方法允许 HJB 方程中的不连续系数，前提是它们满足涉及可数稠密子集的具体逼近条件（假设 6）。这放宽了许多现有 DG 方法所要求的连续性假设（$A \in C^0$）。

C. $W^{2,p}$ 中的最优收敛

本文证明了在广泛的 $p$ 范围内，离散 $W^{2,p}_h$ 范数具有最优收敛率：

• 凸多面体（$d=2,3$）： $p \in (1, 2]$。
• 非凸多边形（$d=2$）： $p \in (4/3 - \epsilon_1, 4/3 + \epsilon_2)$。
  这比仅保证在 $L^2$ 或 $H^2$（即 $p=2$）中收敛的方法有了显著改进。

D. 新颖的稳定性证明

与依赖连续问题适定性所决定的特殊对偶论证的以往工作（如 Feng 等人）不同，本文利用离散紧性和强解的唯一性建立稳定性。这种方法对于非凸区域和不连续系数更为稳健。

4. 主要结果

1. 适定性（定理 3.3, 4.1）：

   • 在 $A, b, c$ 及区域满足指定条件下，证明了线性 PDE 和 HJB 方程在 $W^{2,p}(\Omega) \cap W^{1,p}_0(\Omega)$ 中强解的存在性与唯一性。
   • 对于 HJB 方程，Cordes 条件被推广，通过可数子集假设允许不连续系数。

2. 稳定性（定理 3.2, 4.3）：

   • 离散解 $u_h$ 满足稳定性估计：$\|u_h\|_{W^{2,p}_h} \leq C \|f\|_{L^p}$。
   • 该稳定性适用于取决于区域几何的特定 $p$ 范围。

3. 最优收敛（定理 3.3, 4.3）：

   • 导出了误差估计：
     $$\|u - u_h\|_{W^{1,p}} + \|u - u_h\|_{W^{2,p}_h} \leq C \left( \inf_{\chi_h \in V_h} (\|u - \chi_h\|_{W^{1,p}} + \|u - \chi_h\|_{W^{2,p}_h}) + \|P_h(D^2u) - D^2u\|_{L^p} \right)$$
   • 这意味着如果精确解足够光滑，该方法在离散 $W^{2,p}$ 范数下可实现最优收敛率。

5. 意义

• 连接理论与实践： 本文为使用标准有限元空间（具有 $C^0$ 连续性）求解非散度形式 PDE 提供了严谨的理论基础，此类方程历来难以离散化。
• 处理非凸性： 通过将分析扩展到非凸二维多边形，该方法适用于更广泛的实际工程和物理问题，因为这些问题的区域很少是完美凸的。
• HJB 应用： 放宽系数连续性假设使得该方法适用于随机控制问题，其中系数可能是不连续的（例如切换机制），这是以往 $C^0$ 相容方法失效的场景。
• 统一方法： 证明单一数值格式可同时处理线性和完全非线性情形，简化了复杂系统的实现和理论分析。

总之，吴文峰的工作通过建立稳健的、统一的有限元框架，推进了非散度形式方程数值 PDE 的前沿水平，该框架在一般多面体区域上，以放宽的正则性要求实现了强范数下的最优收敛。