Analysis of a finite element method for second order uniformly elliptic PDEs in non-divergence form

1. Probleemstelling

Het artikel behandelt de numerieke analyse van twee klassen van partiële differentiaalvergelijkingen (PDE's) van de tweede orde, gedefinieerd op Lipschitz-polyedrische domeinen $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ ($d=2, 3$):

1. Lineaire Elliptische PDE in Niet-Divergentievorm:
   $$A : D^2u + b \cdot \nabla u + cu = f \quad \text{in } \Omega, \quad u = 0 \text{ op } \partial\Omega$$
   waarbij $A$ een symmetrische, uniform positief-definiete matrix is, en $b, c$ begrenste coëfficiënten zijn.

2. Uniform Elliptische Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) Vergelijking:
   $$\sup_{\alpha \in \Lambda} [A_\alpha : D^2u + b_\alpha \cdot \nabla u + c_\alpha u - f_\alpha] = 0 \quad \text{in } \Omega, \quad u = 0 \text{ op } \partial\Omega$$
   waarbij $\Lambda$ een indexset is, en de coëfficiënten voldoen aan uniform ellipticiteits- en begrenzingsvoorwaarden.

Belangrijkste Uitdagingen:

• Niet-Divergentievorm: Standaard zwakke formuleringen (gebaseerd op partiële integratie) zijn niet direct toepasbaar omdat de term van de tweede orde $A:D^2u$ niet eenvoudig naar de testfunctie kan worden overgebracht zonder hoge regulariteit van $A$ of het domein aan te nemen.
• Oplossingsruimte: De analyse richt zich op sterke oplossingen in de Sobolev-ruimte $W^{2,p}(\Omega)$ in plaats van viscositeitoplossingen.
• Domeingeometrie: Het artikel beoogt Lipschitz-polyedrische domeinen te behandelen, inclusief niet-convexe polygonen in 2D, die algemener zijn dan de $C^{1,1}$- of convexe domeinen die vaak in bestaande literatuur worden vereist.
• Regulariteit van Coëfficiënten: De methode moet discontinuïteiten in coëfficiënten aankunnen (specifiek voor de HJB-vergelijking) terwijl optimale convergentiesnelheden worden behouden.

2. Methodologie

De auteur stelt een verenigde Finite Element Methode (FEM) voor voor zowel de lineaire PDE als de HJB-vergelijking.

A. Discretisatie en Operatoren

• Net: Een quasi-uniforme, simpliciale, conformerende triangulatie $\mathcal{T}_h$.
• Finite Element Ruimte: $V_h = H^1_0(\Omega) \cap P_r(\mathcal{T}_h)$ met polynoomgraad $r \geq 2$.
• Discrete Gradiënt ($\nabla_h$): De methode maakt gebruik van een specifieke discrete gradiëntoperator die via partiële integratie op de netelementen en springtermen over interne gezichten wordt gedefinieerd. Deze operator maakt de benadering van de Hessiaan $D^2u$ mogelijk zonder $C^1$-continuïteit van de basisfuncties te vereisen.
  $$(\nabla_h v)_i = \partial_{h, x_i} v$$
• Gewichtsfuncties: Om de niet-divergentievorm te hanteren, worden de vergelijkingen vermenigvuldigd met een gewichtsfunctie $\gamma$ (of $\gamma_\alpha$ voor HJB).
  • Voor het lineaire geval: $\gamma(x) = \frac{\text{Tr} A(x)}{|A(x)|^2}$.
  • Dit transformeert de vergelijking naar een vorm die vatbaar is voor de discrete operator: $\tilde{A} : D^2 u + \dots = \tilde{f}$.

B. De Numerieke Schema's

• Lineair Geval (Eq. 14): Vind $u_h \in V_h$ zodanig dat voor alle $v_h \in V_h$:
  $$\int_\Omega (\tilde{A} : \nabla_h(\nabla u_h) + \tilde{b} \cdot \nabla u_h + \tilde{c} u_h) v_h \, dx = \int_\Omega \tilde{f} v_h \, dx$$
• HJB Geval (Eq. 16): Vind $u_h \in V_h$ zodanig dat voor alle $v_h \in V_h$:
  $$\left( \sup_{\alpha \in \Lambda} \gamma_\alpha [A_\alpha : \nabla_h(\nabla u_h) + b_\alpha \cdot \nabla u_h + c_\alpha u_h - f_\alpha], v_h \right)_\Omega = 0$$
  Opmerking: Als $\Lambda$ een enkel element bevat, reduceert het HJB-schema exact tot het lineaire schema.

C. Analytisch Kader

De analyse vertrouwt op discrete $W^{2,p}$-normen gedefinieerd als:
$$\|v\|_{W^{2,p}_h(\Omega)} = \|D^2_h v\|_{L^p(\Omega)} + \left( \sum_{F \in \mathcal{F}_h^I} h_F^{1-p} \|\llbracket \nabla v \rrbracket\|_{L^p(F)}^p \right)^{1/p}$$
Belangrijke analytische hulpmiddelen omvatten:

1. Globale $W^{2,p}$-schattingen: Bewijzen van goedgesteldheid van de sterke oplossing voor het continue probleem op Lipschitz-polyeders.
2. Discrete Compactheid: Vaststellen dat begrensde rijen in de discrete $W^{2,p}_h$-norm convergente deelrijen hebben in $W^{1,p}$.
3. Uniciteitsargumenten: Het gebruik van de uniciteit van de sterke oplossing om stabiliteit via contradictie te bewijzen (het vermijden van gespecialiseerde dualiteitsargumenten die in eerdere werken werden gebruikt).
4. Meetbaarheid van Supremum: Voor de HJB-vergelijking, bewijzen dat het supremum over de indexset $\Lambda$ meetbaar is en kan worden benaderd door een aftelbare deelset $\tilde{\Lambda}$ (Aanname 6).

3. Belangrijkste Bijdragen

A. Verenigd Kader

Het artikel toont aan dat één FEM-formulering effectief zowel lineaire niet-divergentie PDE's als volledig niet-lineaire HJB-vergelijkingen kan oplossen. Het HJB-schema degradeert natuurlijk tot het lineaire schema wanneer de indexset een singleton is.

B. Verslapping van Domein- en Coëfficiënt-aannames

• Domeinen: De analyse breidt optimale convergentieresultaten uit van $C^{1,1}$- of strikt convexe domeinen naar Lipschitz-polyedrische domeinen.
  • Voor $d=3$ moet $\Omega$ convex zijn.
  • Voor $d=2$ kan $\Omega$ niet-convex zijn (met beperkingen op $p$).
• Coëfficiënten: De methode staat discontinue coëfficiënten toe in de HJB-vergelijking, mits ze voldoen aan een specifieke benaderingsvoorwaarde (Aanname 6) die een aftelbare dichte deelset omvat. Dit verslapt de continuïteitsaannames ($A \in C^0$) die door veel bestaande DG-methoden worden vereist.

C. Optimale Convergentie in $W^{2,p}$

Het artikel bewijst optimale convergentiesnelheden in de discrete $W^{2,p}_h$-norm voor een breed scala aan $p$:

• Convexe Polyeders ($d=2,3$): $p \in (1, 2]$.
• Niet-convexe Polygonen ($d=2$): $p \in (4/3 - \epsilon_1, 4/3 + \epsilon_2)$.
  Dit is een aanzienlijke verbetering ten opzichte van methoden die alleen convergentie in $L^2$ of $H^2$ (waar $p=2$) garanderen.

D. Nieuw Stabiliteitsbewijs

In tegenstelling tot eerdere werken (bijv. Feng et al.) die vertrouwen op gespecialiseerde dualiteitsargumenten die afhankelijk zijn van de goedgesteldheid van het continue probleem, stelt dit artikel stabiliteit vast met behulp van discrete compactheid en de uniciteit van de sterke oplossing. Deze aanpak is robuuster voor niet-convexe domeinen en discontinuïteiten in coëfficiënten.

4. Hoofdresultaten

1. Goedgesteldheid (Stellingen 3.3, 4.1):

   • Existentie en uniciteit van sterke oplossingen in $W^{2,p}(\Omega) \cap W^{1,p}_0(\Omega)$ worden bewezen voor zowel de lineaire PDE als de HJB-vergelijking onder de gespecificeerde voorwaarden voor $A, b, c$ en het domein.
   • Voor de HJB-vergelijking wordt de Cordes-voorwaarde gegeneraliseerd om discontinuïteiten in coëfficiënten toe te staan via de aanname van een aftelbare deelset.

2. Stabiliteit (Stellingen 3.2, 4.3):

   • De discrete oplossing $u_h$ voldoet aan een stabiliteitsschatting: $\|u_h\|_{W^{2,p}_h} \leq C \|f\|_{L^p}$.
   • Deze stabiliteit geldt voor het specifieke bereik van $p$ dat afhankelijk is van de domeingeometrie.

3. Optimale Convergentie (Stellingen 3.3, 4.3):

   • De foutschatting wordt afgeleid:
     $$\|u - u_h\|_{W^{1,p}} + \|u - u_h\|_{W^{2,p}_h} \leq C \left( \inf_{\chi_h \in V_h} (\|u - \chi_h\|_{W^{1,p}} + \|u - \chi_h\|_{W^{2,p}_h}) + \|P_h(D^2u) - D^2u\|_{L^p} \right)$$
   • Dit impliceert dat als de exacte oplossing voldoende glad is, de methode optimale convergentiesnelheden bereikt in de discrete $W^{2,p}$-norm.

5. Betekenis

• Brug tussen Theorie en Praktijk: Het artikel biedt een rigoureuze theoretische onderbouwing voor het gebruik van standaard finite element-ruimten (met $C^0$-continuïteit) om PDE's in niet-divergentievorm op te lossen, die berucht moeilijk te discretiseren zijn.
• Hantering van Niet-Convexiteit: Door de analyse uit te breiden naar niet-convexe 2D-polygonen, wordt de methode toepasbaar op een bredere klasse van praktische engineering- en fysieke problemen waarbij domeinen zelden perfect convex zijn.
• HJB-toepassingen: De verslapping van continuïteitsaannames voor coëfficiënten maakt de methode geschikt voor stochastische controleproblemen waarbij coëfficiënten discontinu kunnen zijn (bijv. schakelende regimes), een scenario waar eerdere $C^0$-conforme methoden faalden.
• Verenigde Aanpak: Het aantonen dat één numeriek schema zowel lineaire als volledig niet-lineaire gevallen afhandelt, vereenvoudigt de implementatie en theoretische analyse voor complexe systemen.

Kortom, het werk van Weifeng Qiu brengt de state-of-the-art in numerieke PDE's vooruit door een robuust, verenigd finite element-kader te vestigen voor vergelijkingen in niet-divergentievorm dat optimale convergentie bereikt in sterke normen op algemene polyedrische domeinen met versoepelde regulariteitseisen.