Low Mach number limit and optimal time decay rates of the compressible Navier-Stokes-transport system in critical Besov spaces

技术摘要：临界 Besov 空间中可压缩 Navier-Stokes-输运系统的低马赫数极限与最优时间衰减率

问题陈述
本文研究了可压缩 Navier-Stokes-输运（NST）系统，这是一种流体模型，包含由密度 ($\rho$) 和动量 ($\rho u$) 构成的可压缩 Navier-Stokes 系统，并耦合了一个关于位温 ($\theta$) 的输运方程。与众所周知的 Navier-Stokes-Fourier (NSF) 系统不同——在 NSF 系统中，温度满足一个为温度和密度提供耗散的抛物型方程——NST 系统中的温度遵循的是一个输运方程。这种结构上的差异导致密度缺乏耗散机制，从而导致显著不同的渐近行为。

本研究在 $\mathbb{R}^d$ ($d \ge 2$) 上的临界 Besov 空间 ($\dot{B}^s_{p,r}$) 框架下，解决了三个主要的数学挑战：

1. 全局适定性： 在临界空间内，尽管缺乏密度耗散，仍需建立小初值下强解的存在性与唯一性。
2. 低马赫数极限： 在针对非准备（ill-prepared）初值的情况下，严格证明可压缩 NST 系统在马赫数 $\varepsilon \to 0$ 时收敛至不可压缩非均匀 Navier-Stokes 系统。
3. 最优时间衰减率： 在维度 $d \ge 3$ 下，推导强解的最优衰减率，其难点在于由于缺乏耗散结构，密度不会随时间衰减。

方法论
作者在 Littlewood-Paley 分解框架内，利用精细的能量分析方法对 Besov 空间进行了研究。关键的方法论创新包括：

• 重构与新变量： 为了处理压力的高度非线性以及密度的缺乏耗散问题，系统通过密度扰动 $a = \rho - 1$、速度 $u$ 和压力扰动 $z = P - 1$ 进行重构。至关重要的是，作者引入了一个新的导出量 $\omega = \gamma a - z$。虽然 $\omega$ 本身缺乏耗散结构，但它提供了 $a$ 与 $z$ 之间的关键联系，使得能够推导出密度 $a$ 的一致估计，而这在仅靠连续性方程中的线性项 $\text{div } u$ 是无法实现的。
• 频率局部化分析： 全局适定性的证明利用了频率局部的 Lyapunov 不等式。系统 $(u, z)$ 被视为双曲-抛物型系统，其中低频表现出热扩散行为，而高频表现出阻尼行为。作者分别在低频和高频机制下估计了速度的不可压缩部分 ($Pu$) 和势部分 ($Qu$)，并在高频机制中采用了有效速度法。
• 低马赫数极限策略： 对于奇异极限 $\varepsilon \to 0$，作者采用了重标度论证。为了克服密度 $a^\varepsilon$ 缺乏紧致性（即 $a^\varepsilon$ 不属于 $L^2(\mathbb{R}^+; \dot{B}^{d/2}_{2,1})$）的问题，作者分析了新模态 $\omega^\varepsilon = \gamma a^\varepsilon - z^\varepsilon$ 的方程。这使得他们能够建立 $\omega^\varepsilon$ 的强紧致性，并随后在分布意义下证明连续性方程的收敛性。同时，通过导出 $z^\varepsilon$ 和 $Qu^\varepsilon$ 的色散估计来处理动量方程的收敛。
• 时间衰减分析： 对于衰减率，作者区分了初值的有界条件与小性条件。他们利用了时间加权能量泛函和插值不等式。一个显著的技术障碍是由于涉及非耗散密度 $a$ 的非线性项（例如 $f(a)\nabla z$）导致的“导数损失”。作者通过利用 $u$ 与 $z$ 以及新模态 $\omega$ 之间的耦合关系来克服这一问题，从而闭合能量估计，避免了在等熵研究中通常需要对低频初值进行额外的小性假设。

主要贡献与结果

1. 全局适定性 (定理 1.2)：
   本文建立了在足够小的初始数据条件下，可压缩 NST 系统在临界 Besov 空间 $\dot{B}^{d/2}_{2,1} \times \dot{B}^{d/2-1}_{2,1} \times \dot{B}^{d/2}_{2,1}$ 中的全局存在性与唯一性（对于 $d \ge 2$）。

   • 意义： 与以往的工作（如 Zhai 等人 [59]）不同，该结果提供了最优的时间衰减率，并采用了一种通过新模态 $\omega$ 显式处理密度缺乏耗散问题的不同方法。

2. 低马赫数极限 (定理 1.3)：
   作者严格证明了随着 $\varepsilon \to 0$，可压缩 NST 系统的解收敛至不可压缩非均匀 Navier-Stokes 系统的全局解。

   • 意义： 该结果适用于非准备初值（即 $\text{div } u_0 = O(1)$ 且 $\nabla z_0 = O(1)$），这种情况在数学上比准备好的情况更具挑战性。收敛是在分布意义下建立的，并给出了声学模态的显式收敛速率。

3. 最优时间衰减率 (定理 1.4–1.6)：
   对于 $d \ge 3$，论文推导了速度 $u$ 以及压力/温度扰动 $z$ 的最优时间衰减率。

   • 上界： 在初值的有界性条件下（定理 1.4），对于 $\sigma \in (\sigma_0, d/2 - 1]$，得到了 $(1+t)^{-\frac{1}{2}(\sigma - \sigma_0)}$ 的衰减率。在小性条件下（定理 1.5），这些速率可以扩展到更高正则性 $\sigma \in (\sigma_0, d/2 + 1]$。
   • 下界： 定理 1.6 建立了匹配的下界，证实了衰减率的最优性。
   • 独特行为： 一个关键发现是，密度 $a$ 在时间内保持一致有界，但并不表现出时间衰减。这与 NSF 系统和等熵 Navier-Stokes 方程形成了鲜明对比，在后者中，密度具有耗散结构并会发生衰减。作者指出，密度耗散的缺乏阻止了非线性耦合项为系统贡献额外的衰减率。

重要性与主张
本文声称解决了由 NST 系统中密度与温度的双曲性质引起的重大技术挑战。通过引入模态 $\omega = \gamma a - z$，作者成功绕过了由密度缺乏耗散结构所造成的障碍，而这一限制曾阻碍了经典摄动理论在等熵或 NSF 系统中的应用。

这项工作扩展了对非等熵流体力学的数学理解，特别是在忽略非绝热过程的机制下。关于非准备初值在临界 Besov 空间中低马赫数极限的研究填补了文献空白，为在标准紧致性论证失效的情况下，为不可压缩极限提供了严格的辩护。此外，对最优衰减率的推导（尽管明确指出了密度的非衰减特性）也为这一特定流体模型的长期行为提供了精确的刻画。