Low Mach number limit and optimal time decay rates of the compressible Navier-Stokes-transport system in critical Besov spaces

Résumé technique : Limite de nombre de Mach faible et taux de décroissance temporelle optimaux du système Navier-Stokes-Transport compressible dans les espaces de Besov critiques

Énoncé du problème
Cet article étudie le système Navier-Stokes-Transport (NST) compressible, un modèle de fluide comprenant un système de Navier-Stokes compressible pour la densité ($\rho$) et la quantité de mouvement ($\rho u$), couplé à une équation de transport pour la température potentielle ($\theta$). Contrairement au système bien connu Navier-Stokes-Fourier (NSF), où la température satisfait une équation parabolique fournissant une dissipation tant pour la température que pour la densité, le système NST présente une équation de transport pour la température. Cette différence structurelle empêche un mécanisme dissipatif pour la densité, ce qui conduit à des comportements asymptotiques significativement différents.

L'étude aborde trois défis mathématiques primordiaux dans le cadre des espaces de Besov critiques ($\dot{B}^s_{p,r}$) sur $\mathbb{R}^d$ ($d \ge 2$) :

1. Existence globale et unicité (Global Well-posedness) : Établir l'existence et l'unicité de solutions fortes pour des données initiales petites dans les espaces critiques, malgré l'absence de dissipation de la densité.
2. Limite de nombre de Mach faible : Prouver rigoureusement la convergence du système NST compressible vers le système de Navier-Stokes inhomogène incompressible lorsque le nombre de Mach $\varepsilon \to 0$, spécifiquement pour des données initiales mal préparées (ill-prepared).
3. Taux de décroissance temporelle optimaux : Dériver des taux de décroissance optimaux pour les solutions fortes dans les dimensions $d \ge 3$, en abordant la difficulté que la densité ne décroît pas au cours du temps en raison de l'absence de structure dissipative.

Méthodologie
Les auteurs emploient une analyse d'énergie raffinée dans le cadre de la décomposition de Littlewood-Paley des espaces de Besov. Les principales innovations méthodologiques incluent :

• Reformulation et nouvelles variables : Pour gérer la forte non-linéarité de la pression et l'absence de dissipation de la densité, le système est reformulé en termes de perturbation de densité $a = \rho - 1$, de vitesse $u$, et de perturbation de pression $z = P - 1$. De manière cruciale, les auteurs introduisent une nouvelle quantité dérivée $\omega = \gamma a - z$. Bien que $\omega$ elle-même manque de structure dissipative, elle fournit un lien crucial entre $a$ et $z$, permettant de dériver des estimations uniformes pour la densité $a$ qui seraient autrement inaccessibles en raison du terme linéaire $\text{div } u$ dans l'équation de continuité.
• Analyse localisée en fréquence : La preuve de l'existence globale utilise une inégalité de Lyapunov localisée en fréquence. Le système $(u, z)$ est traité comme un système hyperbolique-parabolique où les basses fréquences présentent un comportement de type diffusion thermique et les hautes fréquences présentent un amortissement. Les auteurs estiment séparément la partie incompressible ($Pu$) et la partie potentielle ($Qu$) de la vitesse dans les régimes de basses et hautes fréquences, en employant la méthode de la vitesse effective pour les hautes fréquences.
• Stratégie de limite de nombre de Mach faible : Pour la limite singulière $\varepsilon \to 0$, les auteurs utilisent un argument de rescalage. Pour surmonter le manque de compacité pour la densité $a^\varepsilon$ (qui n'appartient pas à $L^2(\mathbb{R}^+; \dot{B}^{d/2}_{2,1})$), ils analysent l'équation pour le nouveau mode $\omega^\varepsilon = \gamma a^\varepsilon - z^\varepsilon$. Cela leur permet d'établir une compacité forte pour $\omega^\varepsilon$ et de justifier par la suite la convergence de l'équation de continuité au sens des distributions. Des estimations dispersives pour $z^\varepsilon$ et $Qu^\varepsilon$ sont dérivées pour traiter la convergence de l'équation de quantité de mouvement.
• Analyse de la décroissance temporelle : Pour les taux de décroissance, les auteurs distinguent les conditions de bornitude et de petite taille des données initiales. Ils utilisent des fonctionnelles d'énergie pondérées par le temps et des inégalités d'interpolation. Un obstacle technique majeur est la « perte de dérivée » causée par les termes non linéaires impliquant la densité non dissipative $a$ (par exemple, $f(a)\nabla z$). Les auteurs surmontent cela en exploitant le couplage entre $u$ et $z$ ainsi que le nouveau mode $\omega$ pour fermer les estimations d'énergie, évitant ainsi le besoin d'hypothèses de petiteur supplémentaires sur les basses fréquences des données initiales, typiques des études isentropiques.

Contributions clés et résultats

1. Existence globale et unicité (Théorème 1.2) :
   L'article établit l'existence globale et l'unicité de solutions fortes pour le système NST compressible dans les espaces de Besov critiques $\dot{B}^{d/2}_{2,1} \times \dot{B}^{d/2-1}_{2,1} \times \dot{B}^{d/2}_{2,1}$ pour $d \ge 2$, à condition que les données initiales soient suffisamment petites.

   • Signification : Contrairement aux travaux précédents (par exemple, Zhai et al. [59]), ce résultat fournit des taux de décroissance temporelle optimaux et utilise une méthode différente qui traite explicitement l'absence de dissipation de la densité via le nouveau mode $\omega$.

2. Limite de nombre de Mach faible (Théorème 1.3) :
   Les auteurs prouvent rigoureusement que lorsque $\varepsilon \to 0$, les solutions du système NST compressible convergent vers la solution globale du système de Navier-Stokes inhomogène incompressible.

   • Signification : Ce résultat est valable pour des données initiales mal préparées (où $\text{div } u_0 = O(1)$ et $\nabla z_0 = O(1)$), un cas mathématiquement plus complexe que le cas bien préparé. La convergence est établie au sens des distributions, avec des taux de convergence explicites pour les modes acoustiques.

3. Taux de décroissance temporelle optimaux (Théorèmes 1.4–1.6) :
   Pour $d \ge 3$, l'article dérive des taux de décroissance temporelle optimaux pour la vitesse $u$ et la perturbation de pression/température $z$.

   • Bornes supérieures : Sous une condition de bornitude sur les données initiales (Théorème 1.4), des taux de décroissance de $(1+t)^{-\frac{1}{2}(\sigma - \sigma_0)}$ sont obtenus pour $\sigma \in (\sigma_0, d/2 - 1]$. Sous une condition de petiteur (Théorème 1.5), ces taux s'étendent à une régularité plus élevée $\sigma \in (\sigma_0, d/2 + 1]$.
   • Bornes inférieures : Le Théorème 1.6 établit des bornes inférieures correspondantes, confirmant l'optimalité des taux de décroissance.
   • Comportement distinctif : Un résultat clé est que la densité $a$ reste uniformément bornée dans le temps mais ne présente pas de décroissance temporelle. Cela contraste fortement avec le système NSF et les équations de Navier-Stokes isentropiques, où la densité possède une structure dissipative et décroît. Les auteurs notent que l'absence de dissipation de la densité empêche les termes de couplage non linéaires de contribuer des taux de décroissance supplémentaires au système.

Signification et revendications
L'article prétend résoudre des défis techniques importants découlant de la nature hyperbolique du transport de la densité et de la température dans le système NST. En introduisant le mode $\omega = \gamma a - z$, les auteurs parviennent à contourner l'obstacle causé par l'absence de structure dissipative pour la densité, une limitation qui empêche l'application des théories de perturbation classiques utilisées pour les systèmes isentropiques ou NSF.

Ce travail étend la compréhension mathématique de la dynamique des fluides non isentropiques, particulièrement dans les régimes où les processus diabatiques sont négligés. Les résultats sur la limite de nombre de Mach faible pour les données mal préparées dans les espaces de Besov critiques comblent une lacune dans la littérature, fournissant une justification rigoureuse de la limite incompressible dans un cadre où les arguments de compacité standards échouent. Enfin, la dérivation des taux de décroissance optimaux, tout en notant explicitement la nature non décroissante de la densité, offre une caractérisation précise du comportement à long terme de ce modèle de fluide spécifique.