A New Expression for the Bernoulli Numbers and its Applications

技术摘要：一种新的伯努利数表达式及其应用

问题陈述
本文探讨了寻找涉及第二类斯特林数和第一类斯特林数以及调和数的有限离散卷积的闭式表达式的问题。虽然对于伯努利数（$B_n$）的显式公式已有成熟的结论（例如 Worpitzky 等式及其推广），但作者研究了如下特定求和式：
$$\sum_{k=j}^{n} (-1)^{k-j} \left\{ \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\} \left[ \begin{matrix} k \\ j \end{matrix} \right] H_k$$
其中 $\left\{ \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\}$ 和 $\left[ \begin{matrix} k \\ j \end{matrix} \right]$ 分别表示第二类和第一类斯特林数，$H_k$ 是第 $k$ 个调和数。Mező 和 Merca 的先前研究已将涉及斯特林数的恒等式推广到伯努利多项式，且近期的论文引入了涉及调和数的特定情形。本研究旨在将这些发现推广为一个统一的公式。

方法论
作者结合使用了生成函数、递推关系和组合恒等式。

1. 组合推导： 主定理的证明依赖于第一类和第二类斯特林数的标准递推关系。通过将该求和式定义为 $B_{n,j}$ 并应用这些递推关系，作者推导出了一个归约公式，该公式将 $B_{n+1,j}$ 与 $B_{n,j-1}$ 以及一个涉及二项式系数和伯努利数的项联系起来。
2. 生成函数： 为了建立应用，作者利用了斯特林数、调和数和多项伯努利多项式的生成函数。具体而言，他们通过操纵第二类斯特林数的生成函数来评估涉及 $H_k$ 的求和式。
3. 微分与积分： 累加和公式的推导涉及对主恒等式关于变量 $x$ 求导，并对特定形式进行积分，从而将这些求和式与多项伯努利多项式及柯西数联系起来。
4. 模运算： 模余结果是通过将奇素数 $p$ 代入导出的公式，并应用关于斯特林数的已知定理（例如 $\left\{ \begin{matrix} p \\ k \end{matrix} \right\} \equiv 0 \pmod p$，当 $1 < k < p$ 时）、Babbage 定理以及 von Staudt-Clausen 定理来得出的。

主要贡献与结果

• 主定理 (Theorem 1)： 本文建立了一个上述卷积的新显式公式：
  $$\sum_{k=j}^{n} (-1)^{k-j} \left\{ \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\} \left[ \begin{matrix} k \\ j \end{matrix} \right] H_k = \left( \binom{n}{j} - 1 \right) \frac{B_{n-j}}{n-j}$$
  对于整数 $0 \le j \le n$。作者指出，当 $j=1$ 且 $j=2$ 时，这可以恢复涉及 $B_{n-1}$ 和 $B_{n-2}$ 的已知恒等式。

• 递推关系：

  • 作者重新证明了由 Agoh 给出的关于伯努利数的线性递推关系。
  • 推导出了一个新的递推关系：
    $$\sum_{j=1}^{n} \left( \binom{n}{j} + 1 \right) \frac{B_j}{j} (1 - 2^j) = 1$$

• 累加和公式： 文中给出了一个伯努利数累加和的闭式公式，将其与伯努利数、$di$-伯努利数（$B_n^{(2)}$）以及在$x=1$处评估的$di$-伯努利多项式联系起来：
  $$\sum_{j=0}^{n} B_j = B_n^{(2)}(1) + B_n - B_n^{(2)} - 1$$

• 同余式： 本文建立了关于奇素数 $p$ 及其平方的伯努利数和欧拉数之和的若干同余式：

  • $\sum_{j=0}^{p} p B_j \equiv -1 \pmod p$
  • $\sum_{j=0}^{p-3} B_j \equiv -1 \pmod p$ （对于 $p \ge 5$）
  • $\sum_{j=0}^{p} E_j \equiv \frac{3}{2} \pmod p$
  • $\sum_{j=0}^{p} \frac{p B_j}{p-j+1} \equiv -1 \pmod p$

意义与主张
本文声称，其主要意义在于将各种已知的恒等式统一为一个涉及斯特林数和调和数的单一通用表达式（定理 1）。作者指出，该表达式作为一个强大的工具，可用于：

1. 通过不同的方法论视角重证现有结果（如 Agoh 的递推关系）。
2. 推导出新的递推关系和此前未以这种特定形式存在的累加和闭式公式。
3. 为建立伯努利数和欧拉数之和的同余式提供系统性的方法，扩展对它们模性质的理解。

本研究并未提出超出所呈现的直接数学推导之外的实验性应用或未来的理论方向。其贡献严格局限于数论和组合领域，特别侧重于伯努利数、欧拉数及相关特殊数的性质。