A New Expression for the Bernoulli Numbers and its Applications

Résumé technique : Une nouvelle expression pour les nombres de Bernoulli et ses applications

Énoncé du problème
L'article traite du problème de la recherche d'expressions sous forme fermée pour des convolutions discrètes finies impliquant des nombres de Stirling des deux sortes et des nombres harmoniques. Bien que des formules explicites pour les nombres de Bernoulli ($B_n$) soient bien établies (par exemple, l'identité de Worpitzky et ses généralisations), les auteurs étudient la somme spécifique suivante :
$$\sum_{k=j}^{n} (-1)^{k-j} \left\{ \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\} \left[ \begin{matrix} k \\ j \end{matrix} \right] H_k$$
où $\left\{ \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\}$ et $\left[ \begin{matrix} k \\ j \end{matrix} \right]$ désignent les nombres de Stirling de la seconde et de la première espèce, respectivement, et $H_k$ est le $k$-ième nombre harmonique. Des travaux antérieurs par Mező et Merca avaient étendu les identités impliquant les nombres de Stirling aux polynômes de Bernoulli, et des articles récents ont introduit des cas spécifiques impliquant les nombres harmoniques. Ce travail cherche à généraliser ces résultats en une formule unifiée.

Méthodologie
Les auteurs emploient une combinaison de fonctions génératrices, de relations de récurrence et d'identités combinatoires.

1. Dérivation combinatoire : La preuve du théorème principal repose sur les relations de récurrence standards des nombres de Stirling de la première et de la seconde espèce. En définissant la somme comme $B_{n,j}$ et en appliquant ces récurrences, les auteurs dérivent une formule de réduction qui relie $B_{n+1,j}$ à $B_{n,j-1}$ et à un terme impliquant des coefficients binomiaux et des nombres de Bernoulli.
2. Fonctions génératrices : Pour établir les applications, les auteurs utilisent les fonctions génératrices des nombres de Stirling, des nombres harmoniques et des polynômes poly-Bernoulli. Plus précisément, ils manipulent la fonction génératrice des nombres de Stirling de la seconde espèce pour évaluer des sommes impliquant $H_k$.
3. Différentiation et intégration : La dérivation de la formule de la somme cumulée implique de différencier l'identité principale par rapport à une variable $x$ et d'intégrer des formes spécifiques pour relier les sommes aux polynômes poly-Bernoulli et aux nombres de Cauchy.
4. Arithmétique modulaire : Les résultats de congruence sont dérivés en substituant un nombre premier impair $p$ dans les formules dérivées et en appliquant des théorèmes connus concernant les nombres de Stirling modulo $p$ (par exemple, $\left\{ \begin{matrix} p \\ k \end{matrix} \right\} \equiv 0 \pmod p$ pour $1 < k < p$), le théorème de Babbage et le théorème de von Staudt-Clausen.

Principales contributions et résultats

• Théorème principal (Théorème 1) : L'article établit une nouvelle formule explicite pour la convolution susmentionnée :
  $$\sum_{k=j}^{n} (-1)^{k-j} \left\{ \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\} \left[ \begin{matrix} k \\ j \end{matrix} \right] H_k = \left( \binom{n}{j} - 1 \right) \frac{B_{n-j}}{n-j}$$
  pour les entiers $0 \le j \le n$. Les auteurs notent que pour $j=1$ et $j=2$, cela recupère des identités connues impliquant $B_{n-1}$ et $B_{n-2}$.

• Relations de récurrence :

  • Les auteurs redémontrent une relation de récurrence linéaire pour les nombres de Bernoulli précédemment donnée par Agoh.
  • Une nouvelle relation de récurrence est dérivée :
    $$\sum_{j=1}^{n} \left( \binom{n}{j} + 1 \right) \frac{B_j}{j} (1 - 2^j) = 1$$

• Formule de somme cumulée : Une formule fermée pour la somme cumulée des nombres de Bernoulli est présentée, liant ces derniers aux nombres de Bernoulli, aux nombres di-Bernoulli ($B_n^{(2)}$) et aux polynômes di-Bernoulli évalués en $x=1$ :
  $$\sum_{j=0}^{n} B_j = B_n^{(2)}(1) + B_n - B_n^{(2)} - 1$$

• Congruences : L'article établit plusieurs congruences pour les sommes de nombres de Bernoulli et d'Euler modulo un nombre premier impair $p$ et son carré :

  • $\sum_{j=0}^{p} p B_j \equiv -1 \pmod p$
  • $\sum_{j=0}^{p-3} B_j \equiv -1 \pmod p$ (pour $p \ge 5$)
  • $\sum_{j=0}^{p} E_j \equiv \frac{3}{2} \pmod p$
  • $\sum_{j=0}^{p} \frac{p B_j}{p-j+1} \equiv -1 \pmod p$

Signification et revendications
L'article affirme que la principale signification de ce travail réside dans l'unification de diverses identités connues en une expression générale unique (Théorème 1) impliquant les nombres de Stirling et les nombres harmoniques. Les auteurs déclarent que cette expression sert d'outil puissant pour :

1. Redémontrer des résultats existants (tels que la récurrence d'Agoh) à travers un prisme méthodologique différent.
2. Dériver de nouvelles relations de récurrence et des formules fermées pour les sommes cumulées qui n'étaient pas disponibles auparavant sous cette forme spécifique.
3. Fournir une approche systématique pour établir des congruences pour les sommes de nombres de Bernoulli et d'Euler, étendant la compréhension de leurs propriétés modulaires.

Le travail ne propose pas d'applications expérimentales ou de directions théoriques futures au-delà des déductions mathématiques immédiates présentées. Les contributions sont strictement confinées au domaine de la théorie des nombres et de la combinatoire, se concentrant spécifiquement sur les propriétés des nombres de Bernoulli, d'Euler et des nombres spéciaux apparentés.